10. Клиент А. открыл вклад в банке в размере 200000 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке открыл клиент Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 19620 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Обозначим годовой процент как $$p$$. Тогда коэффициент увеличения вклада за год будет $$1 + \frac{p}{100}$$. Вклад клиента А лежал в банке 2 года, поэтому его сумма увеличилась в $$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2$$ раз. Вклад клиента Б лежал в банке 1 год, поэтому его сумма увеличилась в $$\left(1 + \frac{p}{100}\right)$$ раз. Разница в полученных суммах составляет 19620 рублей. Составим уравнение: $$200000 \left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 - 200000 \left(1 + \frac{p}{100}\right) = 19620$$ Разделим обе части уравнения на 200000: $$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 - \left(1 + \frac{p}{100}\right) = \frac{19620}{200000}$$ $$\left(1 + \frac{p}{100}\right)^2 - \left(1 + \frac{p}{100}\right) = 0.0981$$ Обозначим $$x = 1 + \frac{p}{100}$$. Тогда уравнение принимает вид: $$x^2 - x = 0.0981$$ $$x^2 - x - 0.0981 = 0$$ Решим квадратное уравнение: $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.0981) = 1 + 0.3924 = 1.3924$$ $$\sqrt{D} = 1.18$$ $$x_1 = \frac{1 + 1.18}{2} = \frac{2.18}{2} = 1.09$$ $$x_2 = \frac{1 - 1.18}{2} = \frac{-0.18}{2} = -0.09$$ (не подходит, так как $$x$$ должно быть больше 0) Итак, $$x = 1.09$$. $$1 + \frac{p}{100} = 1.09$$ $$\frac{p}{100} = 0.09$$ $$p = 0.09 \cdot 100 = 9$$ Ответ: Банк начислял 9% годовых.