Контрольная работа № 2 5. На рисунке ABCD - прямоугольник, СНIBD, сторона АВ в З раза меньше диагонали. Найдите СН, если ВС-20.

Решение: Так как ABCD - прямоугольник, то AB = CD, BC = AD = 20. Пусть BD = x, тогда AB = x/3. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. По теореме Пифагора: $$BC^2 + CD^2 = BD^2$$ $$20^2 + (x/3)^2 = x^2$$ $$400 + x^2/9 = x^2$$ $$400 = x^2 - x^2/9$$ $$400 = (9x^2 - x^2) / 9$$ $$400 = 8x^2 / 9$$ $$x^2 = 400 \cdot 9 / 8$$ $$x^2 = 50 \cdot 9$$ $$x^2 = 450$$ $$x = \sqrt{450} = \sqrt{225 \cdot 2} = 15\sqrt{2}$$ $$AB = \frac{15\sqrt{2}}{3} = 5\sqrt{2}$$ Площадь прямоугольника ABCD равна: $$S = AB \cdot BC = 5\sqrt{2} \cdot 20 = 100\sqrt{2}$$ С другой стороны, площадь треугольника BCD равна: $$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 5\sqrt{2} = 50\sqrt{2}$$ С другой стороны, площадь треугольника BCD равна: $$S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot CH$$ Тогда $$\frac{1}{2} \cdot 15\sqrt{2} \cdot CH = 50\sqrt{2}$$ $$15\sqrt{2} \cdot CH = 100\sqrt{2}$$ $$CH = \frac{100\sqrt{2}}{15\sqrt{2}} = \frac{100}{15} = \frac{20}{3}$$ $$CH = 6\frac{2}{3}$$ Ответ: $$CH = 6\frac{2}{3}$$