5. На рисунке ABCD - прямоугольник, DHLAC, сторона АВ в 2 раза меньше стороны ВС. Найдите DH, если АС = 10.

Решение: Так как ABCD - прямоугольник, то AB = CD, BC = AD. Пусть AB = x, тогда BC = 2x. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора: $$AB^2 + BC^2 = AC^2$$ $$x^2 + (2x)^2 = 10^2$$ $$x^2 + 4x^2 = 100$$ $$5x^2 = 100$$ $$x^2 = 20$$ $$x = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ Тогда AB = $$2\sqrt{5}$$, BC = $$4\sqrt{5}$$. Площадь прямоугольника ABCD равна: $$S = AB \cdot BC = 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{5} = 8 \cdot 5 = 40$$ Площадь треугольника ACD равна: $$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot 40 = 20$$ С другой стороны, площадь треугольника ACD равна: $$S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DH = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot DH = 5 \cdot DH$$ Тогда $$5 \cdot DH = 20$$ $$DH = \frac{20}{5} = 4$$ Ответ: DH = 4