Контрольная работа №2. Вариант 2: 1. Одна из диагоналей параллелограмма является его высотой и равна 9 см. Найдите стороны этого параллелограмма, если его площадь равна 108 см². 2. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС, если известно, что АВ = 12 см, ВС = 14 см, AD = 30 см, ∠B = 150°. 3. На продолжении стороны KN данного треугольника КМN постройте точку Р так, чтобы площадь треугольника №МР была в два раза меньше площади треугольника КМN.

Решение Варианта 2: **Задача 1:** Пусть дана параллелограмм ABCD, где диагональ BD является высотой. Тогда площадь параллелограмма можно выразить как $$S = AD * BD$$. Так как диагональ является высотой, то $$BD = 9 см$$. Площадь параллелограмма дана: $$S = 108 см²$$. $$108 = AD * 9$$, следовательно, $$AD = \frac{108}{9} = 12$$ см. Так как BD является высотой, то треугольник ABD - прямоугольный. Тогда сторону AB можно найти по теореме Пифагора, но для этого нужно понимать, к какой стороне проведена высота. Поскольку не сказано, что диагональ проведена к большей или меньшей стороне, предположим, что высота проведена к большей стороне. Тогда вторая сторона параллелограмма будет AD = 12 см. Противоположные стороны параллелограмма равны, следовательно, AD = BC = 12 см, AB = CD. Но если DB - высота, то угол ADB=90 и ABCD - прямоугольник. Тогда чтобы найти вторую сторону AB - нам нужно, чтобы ABCD был прямоугольником со стороной AD=12, диагональю DB=9, но 9 < 12. Поэтому в условии ошибка и не может диагональ одновременно являться высотой. Попробуем решить задачу, если в условии была дана длина высоты. Тогда $$S = a*h$$ => $$108 = 12*h$$ => $$h = 9$$. Ответ: Стороны параллелограмма равны 12 см и 9 см. **Задача 2:** Дано: трапеция ABCD, AD = 30 см, BC = 14 см, AB = 12 см, ∠B = 150°. Проведем высоту BH к основанию AD. Рассмотрим треугольник ABH. ∠ABH = 180° - 150° = 30°. В прямоугольном треугольнике против угла 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Значит, BH = AB / 2 = 12 / 2 = 6 см. Площадь трапеции ABCD равна: S = ((AD + BC) / 2) * BH = ((30 + 14) / 2) * 6 = (44 / 2) * 6 = 22 * 6 = 132 см². Ответ: Площадь трапеции ABCD равна 132 см². **Задача 3:** Для того чтобы площадь треугольника NMP была в два раза меньше площади треугольника KMN, необходимо, чтобы основание NP было в два раза меньше основания KN. Постройте точку P на продолжении KN так, чтобы KN = 2*NP. То есть, нужно продолжить сторону KN за точку N и отложить отрезок NP, равный половине KN.