Контрольная работа № 1 по теме «Векторы». Вариант 2. На стороне CD квадрата ABCD лежит точка P так, что CP = PD. O — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы \(\overrightarrow{BO}\), \(\overrightarrow{BP}\), \(\overrightarrow{PA}\) через векторы \(\overrightarrow{BA}\) и \(\overrightarrow{BC}\).

Обозначим \(\vec x=\overrightarrow{BA}\), \(\vec y=\overrightarrow{BC}\). Тогда \(\overrightarrow{BD}=\vec x+\vec y\).

1. O — середина диагонали BD, поэтому \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec x+\vec y)\).
2. P — середина CD. При отсчёте от B имеем \(\overrightarrow{BC}=\vec y\), \(\overrightarrow{CD}=\vec x\), следовательно, \(\overrightarrow{BP}=\vec y+\frac12\vec x\).
3. \(\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{BP}+\vec x=\frac12\vec x-\vec y\).

Ответ: \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})\), \(\overrightarrow{BP}=\frac12\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\), \(\overrightarrow{PA}=\frac12\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}\).