Контрольная работа № 1, вариант 1. 1. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O. Найдите угол между диагоналями, если ∠ABO = 30°. 2. В параллелограмме KMNP проведена биссектриса угла MKP, которая пересекает сторону MN в точке E. а) Докажите, что треугольник KME равнобедренный. б) Найдите сторону KP, если ME = 10 см, а периметр параллелограмма равен 52 см.

1. Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому OA = OB. Треугольник AOB равнобедренный, значит ∠BAO = ∠ABO = 30°.

Тогда ∠AOB = 180° − 30° − 30° = 120°. Смежный с ним угол между диагоналями равен 180° − 120° = 60°.

Ответ: 60°.

2а. Так как KE — биссектриса угла MKP, то ∠MKE = ∠EKP. Поскольку MN ∥ KP, а EM лежит на MN, угол между KE и EM равен углу между KE и KP. Следовательно, ∠KEM = ∠MKE, поэтому KM = ME: треугольник KME равнобедренный.

2б. Из доказанного KM = ME = 10 см. Периметр параллелограмма равен 2(KM + KP), поэтому 2(10 + KP) = 52. Отсюда KM + KP = 26 и KP = 16 см.

Ответ: KP = 16 см.