Контрольная работа № 2, вариант 1. 1. Смежные стороны параллелограмма равны 32 см и 26 см, а один из его углов равен 150°. Найдите площадь параллелограмма. 2. Площадь прямоугольной трапеции равна 120 см², а её высота равна 8 см. Найдите все стороны трапеции, если одно из оснований больше другого на 6 см. 3. На стороне AC данного треугольника ABC постройте точку D так, чтобы площадь треугольника ABD составляла одну треть площади треугольника ABC.

1. Площадь параллелограмма равна произведению смежных сторон на синус угла между ними: S = ab sin α.

S = 32 · 26 · sin 150° = 32 · 26 · 0,5 = 416 см².

Ответ: 416 см².

2. Пусть основания трапеции равны a и b, причём a > b. По формуле площади: 120 = (a + b) · 8 / 2, откуда a + b = 30. Также a − b = 6. Складывая равенства, получаем 2a = 36, поэтому a = 18 см, b = 12 см.

В прямоугольной трапеции одна боковая сторона равна высоте: 8 см. Разность оснований 6 см образует с высотой и наклонной боковой стороной прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора наклонная сторона равна √(8² + 6²) = √100 = 10 см.

Ответ: основания 18 см и 12 см; боковые стороны 8 см и 10 см.

3. Треугольники ABD и ABC имеют общее основание AB. Их площади относятся как высоты, опущенные из D и C на прямую AB. Поскольку C и D лежат на прямой AC, эти высоты относятся как AD : AC. Поэтому для требуемого отношения площадей нужно взять AD = AC / 3.

На отрезке AC отметим точку D на расстоянии одной трети AC от A; тогда площадь ABD составляет одну треть площади ABC.