Контрольная работа № 1, вариант 2. 1. Диагонали ромба KMNP пересекаются в точке O. Найдите углы треугольника KOM, если ∠MNP = 80°. 2. На стороне BC параллелограмма ABCD взята точка M так, что AB = BM. а) Докажите, что AM — биссектриса угла BAD. б) Найдите периметр параллелограмма, если CD = 8 см, CM = 4 см.

1. В ромбе противоположные углы равны, поэтому ∠K = ∠N = 80°. Диагональ KM биссектрисса угла K, значит ∠OKM = 80° : 2 = 40°. Диагонали ромба перпендикулярны, поэтому ∠KOM = 90°. Тогда ∠KMO = 180° − 40° − 90° = 50°.

Ответ: ∠OKM = 40°, ∠KOM = 90°, ∠KMO = 50°.

2а. Так как AB = BM, треугольник ABM равнобедренный, поэтому ∠BAM = ∠AMB. Из параллельности AD ∥ BC и того, что M лежит на BC, следует ∠AMB = ∠MAD. Следовательно, ∠BAM = ∠MAD, то есть AM — биссектриса угла BAD.

2б. В параллелограмме AB = CD = 8 см, следовательно, BM = 8 см. Тогда BC = BM + MC = 8 + 4 = 12 см. Периметр равен 2(AB + BC) = 2(8 + 12) = 40 см.

Ответ: 40 см.