Контрольная работа № 1, вариант I. 1. Точки E и F лежат соответственно на сторонах AD и BC параллелограмма ABCD, причём AE = ED, BF : FC = 4 : 3. а) Выразите вектор EF через векторы m = AB и n = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство EF = x·CD? 2. Боковые стороны прямоугольной трапеции равны 15 см и 17 см, средняя линия равна 6 см. Найдите основания трапеции.

1а. Пусть A — начало отсчёта. Тогда B = m, D = n, C = m + n. Точка E — середина AD, поэтому AE = n/2.

Так как BF : FC = 4 : 3, точка F делит BC в отношении 4 : 3 от B к C. Следовательно, BF = 4n/7 и AF = m + 4n/7.

Тогда EF = AF − AE = m + 4n/7 − n/2 = m + n/14.

1б. В параллелограмме CD = −m. Равенство EF = x·CD потребовало бы m + n/14 = −xm, то есть n/14 = −(x + 1)m. Но m и n неколлинеарны, поэтому такое равенство невозможно при любом x.

2. В прямоугольной трапеции одна боковая сторона — высота. Более длинная боковая сторона 17 см является наклонной, а высота равна 15 см. Разность оснований равна горизонтальной проекции наклонной стороны:

17² − 15² = 289 − 225 = 64, поэтому разность оснований равна 8 см.

Средняя линия равна полусумме оснований, значит их сумма равна 2 · 6 = 12 см. Пусть основания a и b, где a > b. Тогда a + b = 12 и a − b = 8. Отсюда a = 10, b = 2.

Ответ: 1а) EF = m + n/14; 1б) нет; 2) основания 2 см и 10 см.