Контрольная работа № 1, вариант III (для более подготовленных учащихся). 1. Точки M и N — середины сторон BC и CD параллелограмма ABCD. Выразите вектор AC через векторы m = AM и n = AN. 2. Основания трапеции равны 4 см и 10 см. Боковая сторона разделена на три равные части. Через точки деления проведены прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, заключённые между боковыми сторонами трапеции.

1. Обозначим AB = u, AD = v. Тогда AM = AB + BC/2 = u + v/2, а AN = AD + DC/2 = v + u/2.

Складывая равенства, получаем m + n = 3(u + v)/2. Диагональ AC = u + v, следовательно, AC = 2(m + n)/3.

2. Длина сечения трапеции, параллельного основаниям, меняется линейно от одного основания к другому. Точки деления боковой стороны соответствуют долям 1/3 и 2/3 расстояния между основаниями.

Разность оснований равна 10 − 4 = 6 см. Поэтому длины искомых отрезков равны 4 + 6/3 = 6 см и 4 + 2·6/3 = 8 см.

Ответ: 1) AC = 2(m + n)/3; 2) 6 см и 8 см.