Контрольная работа № 1, вариант II. 1. Точка K лежит на стороне AB, а точка M — на стороне CD параллелограмма ABCD, причём AK = KB, CM : MD = 2 : 5. а) Выразите вектор KM через векторы p = AB и q = AD. б) Может ли при каком-нибудь значении x выполняться равенство KM = x·CB? 2. Один из углов прямоугольной трапеции равен 120°, большая боковая сторона равна 20 см, а средняя линия равна 7 см. Найдите основания трапеции.

1а. Пусть A — начало отсчёта. Тогда B = p, D = q, C = p + q. Поскольку AK = KB, координатный вектор точки K равен p/2.

Точка M делит CD в отношении CM : MD = 2 : 5. Поэтому CM составляет 2/7 вектора CD, а CD = −p. Следовательно, AM = C + (2/7)CD = p + q − 2p/7 = 5p/7 + q.

Тогда KM = AM − AK = 5p/7 + q − p/2 = 3p/14 + q.

1б. CB = −q. Для равенства KM = x·CB вектор 3p/14 + q должен быть параллелен q. Это невозможно, поскольку p и q — неколлинеарные векторы параллелограмма, а коэффициент при p ненулевой.

2. В прямоугольной трапеции углы при наклонной боковой стороне дополнительны. Если один угол равен 120°, острый угол между этой стороной и основанием равен 60°. Большая боковая сторона 20 см — наклонная.

Высота равна 20 sin 60° = 10√3 см, а разность оснований — горизонтальная проекция наклонной стороны: 20 cos 60° = 10 см.

Средняя линия равна 7 см, поэтому сумма оснований равна 14 см. Пусть большее основание a, меньшее b. Тогда a + b = 14 и a − b = 10. Отсюда a = 12, b = 2.

Ответ: 1а) KM = 3p/14 + q; 1б) нет; 2) основания 2 см и 12 см.