Контрольная работа №5 по теме "Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники" ВАРИАНТ -1. Задание 1. Даны углы ∠CDN = 60°, ∠ABN = 70°. Найдите угол CND.

Question

Вопрос:

Контрольная работа №5 по теме "Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники" ВАРИАНТ -1. Задание 1. Даны углы ∠CDN = 60°, ∠ABN = 70°. Найдите угол CND.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Дано:

\[ \angle CDN = 60^{\circ} \]
\[ \angle ABN = 70^{\circ} \]

Найти:

\[ \angle CND \]

Решение:

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы $$\angle CAD\f$$ и $$\angle CBD\f$$ опираются на дугу $$CD\f$$, следовательно, $$\angle CAD = \angle CBD\f$$.
Угол $$\angle ABN\f$$ является вписанным и опирается на дугу $$AN\f$$. Следовательно, дуга $$AN = 2 \times \angle ABN = 2 \times 70^{\circ} = 140^{\circ}\f$$.
Угол $$\angle CDN\f$$ является вписанным и опирается на дугу $$CN\f$$. Следовательно, дуга $$CN = 2 \times \angle CDN = 2 imes 60^{\circ} = 120^{\circ}\f$$.
Сумма дуг $$AD + CD + CN + NA = 360^{\circ}\f$$.
Угол $$\angle CND\f$$ является внешним углом треугольника $$AND\f$$.
Рассмотрим вписанный угол $$\angle CAN\f$$, он опирается на дугу $$CN\f$$, следовательно $$\angle CAN = \frac{1}{2} ext{дуга } CN = rac{1}{2} imes 120^{\circ} = 60^{\circ}\f$$.
Угол $$\angle AND\f$$ является вписанным и опирается на дугу $$AD\f$$.
Угол $$\angle NCD\f$$ является вписанным и опирается на дугу $$ND\f$$.
Угол $$\angle ADN\f$$ является вписанным и опирается на дугу $$AN\f$$. Следовательно, $$\angle ADN = rac{1}{2} ext{дуга } AN = rac{1}{2} imes 140^{\circ} = 70^{\circ}\f$$.
Рассмотрим $$\triangle CDN\f$$. Сумма углов в треугольнике равна $$180^{\circ}\f$$.

$$\angle NCD + \angle CDN + \angle CND = 180^{\circ}\f;

$$\angle NCD + 60^{\circ} + \angle CND = 180^{\circ}\f;

$$\angle NCD + \angle CND = 120^{\circ}\f;
Угол $$\angle BCD = 180^{\circ} - \angle BAD\f$$ (так как $$ABCD\f$$ — вписанный четырехугольник).
Угол $$\angle CDB\f$$ опирается на дугу $$CB\f$$.
Угол $$\angle CAB\f$$ опирается на дугу $$CB\f$$.
Рассмотрим $$\triangle ABN\f$$.

$$\angle NAB + \angle ABN + \angle ANB = 180^{\circ}\f;

$$\angle NAB + 70^{\circ} + \angle ANB = 180^{\circ}\f;

$$\angle NAB + \angle ANB = 110^{\circ}\f;
Рассмотрим $$\triangle CDN\f$$.

$$\angle NCD + \angle CDN + \angle CND = 180^{\circ}\f;

$$\angle NCD + 60^{\circ} + \angle CND = 180^{\circ}\f;

$$\angle NCD + \angle CND = 120^{\circ}\f;
Угол $$\angle ADC\f$$ опирается на дугу $$AC\f$$.
Угол $$\angle ABC\f$$ опирается на дугу $$AC\f$$.
Угол $$\angle NBC = 90^{\circ}\f$$ (если $$NC\f$$ - диаметр).
Угол $$\angle CAN = 60^{\circ}\f$$ (из п. 6).
Угол $$\angle ACB\f$$ опирается на дугу $$AB\f$$.
Угол $$\angle ADB\f$$ опирается на дугу $$AB\f$$.
Рассмотрим $$\triangle CDN\f$$. Угол $$\angle CND\f$$ является углом пересечения хорд $$AC\f$$ и $$BD\f$$, если бы они пересекались в точке $$N\f$$. Но $$N\f$$ лежит на хорде $$AC\f$$.
Угол $$\angle ABN = 70^{\circ}\f$$, значит дуга $$AN = 140^{\circ}\f$$.
Угол $$\angle CDN = 60^{\circ}\f$$, значит дуга $$CN = 120^{\circ}\f$$.
Угол $$\angle CND\f$$ - это угол между хордами $$AC\f$$ и $$BD\f$$.
Угол $$\angle ACN\f$$ опирается на дугу $$AN\f$$. $$\angle ACN = rac{1}{2} ext{дуга } AN = rac{1}{2} imes 140^{\circ} = 70^{\circ}\f$$.
Угол $$\angle CAN\f$$ опирается на дугу $$CN\f$$. $$\angle CAN = rac{1}{2} ext{дуга } CN = rac{1}{2} imes 120^{\circ} = 60^{\circ}\f$$.
В $$\triangle ACN\f$$, $$\angle ANC = 180^{\circ} - \angle CAN - \angle ACN = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 70^{\circ} = 50^{\circ}\f$$.
$$\angle CND\f$$ и $$\angle ANC\f$$ — смежные углы, значит $$\angle CND = 180^{\circ} - \angle ANC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}\f$$.
Другой подход: угол $$\angle CND\f$$ является углом пересечения хорд $$AC\f$$ и $$BD\f$$.

$$\angle CND = rac{1}{2} ( ext{дуга } CD + ext{дуга } AB)\f$$.

Нам дано $$\angle ABN = 70^{\circ}\f$$, это вписанный угол, опирающийся на дугу $$AN\f$$. Значит, дуга $$AN = 140^{\circ}\f$$.

Нам дано $$\angle CDN = 60^{\circ}\f$$, это вписанный угол, опирающийся на дугу $$CN\f$$. Значит, дуга $$CN = 120^{\circ}\f$$.

$$дуга AN + дуга CN = 140^{\circ} + 120^{\circ} = 260^{\circ}\f$$.

Тогда $$дуга AC = 360^{\circ} - 260^{\circ} = 100^{\circ}\f$$.

Угол $$\angle ABC\f$$ опирается на дугу $$AC\f$$, значит $$\angle ABC = rac{1}{2} ext{дуга } AC = rac{1}{2} imes 100^{\circ} = 50^{\circ}\f$$.

Угол $$\angle ADC\f$$ опирается на дугу $$AC\f$$, значит $$\angle ADC = rac{1}{2} ext{дуга } AC = rac{1}{2} imes 100^{\circ} = 50^{\circ}\f$$.

Теперь рассмотрим $$\triangle AND\f$$.

$$\angle NAD + \angle ADN + \angle AND = 180^{\circ}\f$$.

$$\angle NAD\f$$ опирается на дугу $$ND\f$$.

$$\angle ADN\f$$ опирается на дугу $$AN\f$$. $$\angle ADN = rac{1}{2} ext{дуга } AN = rac{1}{2} imes 140^{\circ} = 70^{\circ}\f$$.

$$\angle AND\f$$ опирается на дугу $$AD\f$$.

В $$\triangle CDN\f$$, $$\angle CND\f$$ — внешний угол к $$\triangle AND\f$$. Нет, это неверно.

Рассмотрим $$\triangle CND\f$$.

$$\angle NCD\f$$ — угол, опирающийся на дугу $$ND\f$$.

$$\angle NDC = 60^{\circ}\f$$ (дано $$\angle CDN = 60^{\circ}\f$$).

$$\angle CND = 180^{\circ} - \angle NCD - \angle NDC = 180^{\circ} - \angle NCD - 60^{\circ} = 120^{\circ} - \angle NCD\f$$.

Нужен $$\angle NCD\f$$. $$\angle NCD\f$$ опирается на дугу $$ND\f$$.

Угол $$\angle NAD = 60^{\circ}\f$$ (из п. 6).

Угол $$\angle NAB = ?\f$$.

$$\angle ABN = 70^{\circ}\f$$.

$$\angle CDN = 60^{\circ}\f$$.

В $$\triangle BNC\f$$: $$\angle NBC = ?\f$$. $$\angle BCN = ?\f$$. $$\angle BNC = 180^{\circ} - ?\f$$.

В $$\triangle ADN\f$$: $$\angle DAN = 60^{\circ}\f$$. $$\angle ADN = 70^{\circ}\f$$. $$\angle AND = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 70^{\circ} = 50^{\circ}\f$$.

$$\angle CND\f$$ и $$\angle AND\f$$ — смежные углы.

$$\angle CND = 180^{\circ} - ?\angle AND = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}\f$$.
Перепроверим. $$\angle CAN = 60^{\circ}\f$$ (опирается на дугу $$CN\f$$). $$\angle ABN = 70^{\circ}\f$$ (опирается на дугу $$AN\f$$). $$\angle CDN = 60^{\circ}\f$$ (опирается на дугу $$CN\f$$).

Угол $$\angle CAD\f$$ опирается на дугу $$CD\f$$.

Угол $$\angle CBD\f$$ опирается на дугу $$CD\f$$.

$$\angle CAD = \angle CBD\f$$.

$$\angle ADB\f$$ опирается на дугу $$AB\f$$.

$$\angle ACB\f$$ опирается на дугу $$AB\f$$.

$$\angle ADB = \angle ACB\f$$.

В $$\triangle ABN\f$$: $$\angle BAN = 180^{\circ} - 70^{\circ} - ?\angle BNA\f$$.

В $$\triangle CDN\f$$: $$\angle NCD = 180^{\circ} - 60^{\circ} - ?\angle CND\f$$.

Угол $$\angle CND\f$$ — это угол пересечения хорд $$AC\f$$ и $$BD\f$$.

$$\angle CND = \frac{1}{2} (дуга CD + дуга AB)\f$$.

Из $$\angle CDN = 60^{\circ}\f$$, следует, что дуга $$CN = 120^{\circ}\f$$.

Из $$\angle ABN = 70^{\circ}\f$$, следует, что дуга $$AN = 140^{\circ}\f$$.

Следовательно, дуга $$AC = 360^{\circ} - 140^{\circ} - 120^{\circ} = 100^{\circ}\f$$.

$$\angle ABC = rac{1}{2} ext{дуга } AC = rac{1}{2} imes 100^{\circ} = 50^{\circ}\f$$.

$$\angle ADC = rac{1}{2} ext{дуга } AC = rac{1}{2} imes 100^{\circ} = 50^{\circ}\f$$.

Теперь нужно найти дугу $$CD\f$$ и дугу $$AB\f$$.

Угол $$\angle CAD\f$$ опирается на дугу $$CD\f$$.

Угол $$\angle CBD\f$$ опирается на дугу $$CD\f$$.

Угол $$\angle BAC\f$$ опирается на дугу $$BC\f$$.

Угол $$\angle BDC\f$$ опирается на дугу $$BC\f$$.

Угол $$\angle ABD\f$$ опирается на дугу $$AD\f$$.

Угол $$\angle ACD\f$$ опирается на дугу $$AD\f$$.

Нам дано $$\angle CDN = 60^{\circ}\f$$. Это угол $$\angle CDN = \angle CDB + \angle BDA = 60^{\circ}\f$$.

Из $$\angle ABN = 70^{\circ}\f$$, $$\angle ABC = ?\f$$.

Угол $$\angle ABN\f$$ — это $$\angle ABC + ? ?\f$$. Нет, $$\angle ABN\f$$ — это часть $$\angle ABC\f$$.

Рассмотрим $$\triangle CND\f$$.

$$\angle NCD + \angle NDC + \angle CND = 180^{\circ}\f$$.

$$\angle NDC = 60^{\circ}\f$$.

$$\angle NCD\f$$ опирается на дугу $$ND\f$$.

Угол $$\angle NAD = 50^{\circ}\f$$ (из $$\triangle ADN\f$$).

$$\angle NAD = rac{1}{2} ext{дуга } ND = 50^{\circ}\f$$. Значит, дуга $$ND = 100^{\circ}\f$$.

Тогда $$\angle NCD = rac{1}{2} ext{дуга } ND = rac{1}{2} imes 100^{\circ} = 50^{\circ}\f$$.

$$\angle CND = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 50^{\circ} = 70^{\circ}\f$$.

Проверим: дуга $$AN = 140^{\circ}\f$$, дуга $$CN = 120^{\circ}\f$$, дуга $$ND = 100^{\circ}\f$$.

Сумма $$AN + CN + ND = 140 + 120 + 100 = 360^{\circ}\f$$. Это верно.

Значит, $$\angle CND = 70^{\circ}\f$$.
Итак, в $$\triangle ADN\f$$:
- $$\angle ADN = 70^{\circ}\f$$ (опирается на дугу $$AN=140^{\circ}\f$$).
- $$\angle DAN = 50^{\circ}\f$$.
- $$\angle AND = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 50^{\circ} = 60^{\circ}\f$$.
В $$\triangle CND\f$$:
- $$\angle CDN = 60^{\circ}\f$$ (дано).
- $$\angle NCD\f$$ опирается на дугу $$ND\f$$.
Вывод:

Угол $$\angle ABN = 70^{\circ}\f$$. Вписанный угол, опирается на дугу $$AN\f$$. Значит, дуга $$AN = 2 imes 70^{\circ} = 140^{\circ}\f$$.

Угол $$\angle CDN = 60^{\circ}\f$$. Вписанный угол, опирается на дугу $$CN\f$$. Значит, дуга $$CN = 2 imes 60^{\circ} = 120^{\circ}\f$$.

Угол $$\angle CND\f$$ является смежным с углом $$\angle ANC\f$$.

Угол $$\angle ANC\f$$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $$AC\f$$.

Дуга $$AC = 360^{\circ} - ext{дуга } AN - ext{дуга } CN = 360^{\circ} - 140^{\circ} - 120^{\circ} = 100^{\circ}\f$$.

Тогда $$\angle ANC = rac{1}{2} ext{дуга } AC = rac{1}{2} imes 100^{\circ} = 50^{\circ}\f$$.

$$\angle CND = 180^{\circ} - ?\angle ANC = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}\f$$.
Итак, еще раз:

1. $$\angle ABN = 70^{\circ}\f$$ -> дуга $$AN = 140^{\circ}\f$$.

2. $$\angle CDN = 60^{\circ}\f$$ -> дуга $$CN = 120^{\circ}\f$$.

3. Дуга $$AC = 360^{\circ} - (140^{\circ} + 120^{\circ}) = 100^{\circ}\f$$.

4. $$\angle ANC\f$$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $$AC\f$$. $$\angle ANC = rac{1}{2} imes 100^{\circ} = 50^{\circ}\f$$.

5. $$\angle CND\f$$ и $$\angle ANC\f$$ — смежные углы. $$\angle CND = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ}\f$$.

Ответ: $$\angle CND = 130^{\circ}\f$$.

Контрольная работа №5 по теме "Углы в окружности. Вписанные и описанные четырехугольники" ВАРИАНТ -1. Задание 1. Даны углы ∠CDN = 60°, ∠ABN = 70°. Найдите угол CND.

Ответ:

Похожие