Задание 2. Дано: дуга AB : дуга AC = 3 : 2, ∠A = 50°. Найти: ∠B, ∠C, ∠BOC.

Дано:

• $$\text{дуга } AB : ext{дуга } AC = 3 : 2\f$$
• $$\angle A = 50^{\circ}\f$$

Найти:

• $$\angle B\f$$
• $$\angle C\f$$
• $$\angle BOC\f$$

Решение:

1. Пусть $$\text{дуга } AB = 3x\f$$ и $$\text{дуга } AC = 2x\f$$.

2. Угол $$\angle A\f$$ является вписанным углом, который опирается на дугу $$BC\f$$. Следовательно, $$\text{дуга } BC = 2 imes ?\angle A = 2 imes 50^{\circ} = 100^{\circ}\f$$.

3. Сумма всех дуг в окружности равна $$360^{\circ}\f$$.

   $$\text{дуга } AB + ext{дуга } AC + ext{дуга } BC = 360^{\circ}\f$$.

   $$3x + 2x + 100^{\circ} = 360^{\circ}\f$$.

   $$5x = 360^{\circ} - 100^{\circ}\f$$.

   $$5x = 260^{\circ}\f$$.

   $$x = rac{260^{\circ}}{5} = 52^{\circ}\f$$.

4. Теперь найдем величины дуг:

   • $$\text{дуга } AB = 3x = 3 imes 52^{\circ} = 156^{\circ}\f$$.
   • $$\text{дуга } AC = 2x = 2 imes 52^{\circ} = 104^{\circ}\f$$.
   • $$\text{дуга } BC = 100^{\circ}\f$$ (из п. 2).

   Проверка: $$156^{\circ} + 104^{\circ} + 100^{\circ} = 360^{\circ}\f$$.

5. Найдем углы $$\angle B\f$$ и $$\angle C\f$$.

   $$\angle B\f$$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $$AC\f$$.

   $$\angle B = rac{1}{2} ext{дуга } AC = rac{1}{2} imes 104^{\circ} = 52^{\circ}\f$$.

   $$\angle C\f$$ — вписанный угол, опирающийся на дугу $$AB\f$$.

   $$\angle C = rac{1}{2} ext{дуга } AB = rac{1}{2} imes 156^{\circ} = 78^{\circ}\f$$.

6. Найдем центральный угол $$\angle BOC\f$$. Он равен величине дуги $$BC\f$$.

   $$\angle BOC = ext{дуга } BC = 100^{\circ}\f$$.

7. Проверим сумму углов в $$\triangle ABC\f$$:

   $$\angle A + ?\angle B + \angle C = 50^{\circ} + 52^{\circ} + 78^{\circ} = 180^{\circ}\f$$.

Ответ:

• $$\angle B = 52^{\circ}\f$$
• $$\angle C = 78^{\circ}\f$$
• $$\angle BOC = 100^{\circ}\f$$