Контрольная работа №5 по теме «Углы в окружности. Вписанные и описанные четырёхугольники» Вариант 2 1. Отрезок BD — диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополам радиус ОВ и перпендикулярна к нему. Найдите углы четырёхугольника ABCD и градусные меры дуг AB, BC, CD, AD.

Решение:

1. Анализ условия:

• BD — диаметр, центр О.
• AC — хорда, делит OB пополам и перпендикулярна OB.
• Точка пересечения хорды AC и радиуса OB — середина OB. Обозначим эту точку как M. Таким образом, OM = MB = OB/2.
• Так как OB — радиус, то OB = OA = OC = OD = R.
• Следовательно, OM = R/2.

2. Нахождение углов треугольника OMA:

• В треугольнике OMA, OA = R, OM = R/2.
• Рассмотрим прямоугольный треугольник OMA (так как AC перпендикулярна OB).
• В этом треугольнике катет OM в два раза меньше гипотенузы OA. Это означает, что угол, противолежащий этому катету (угол OAM), равен 30°.
• \[ \angle OAM = 30^° \]
• Угол ∠AOM является частью радиуса OB, и поскольку AC перпендикулярна OB, ∠AOM = 90°.
• Угол ∠AMO = 90°.
• Сумма углов в треугольнике OMA: \[ \angle OAM + \angle AOM + \angle AMO = 180^° \]
• \[ 30^° + 90^° + \angle OMA = 180^° \]
• \[ \angle OMA = 180^° - 120^° = 60^° \]

3. Нахождение углов четырёхугольника ABCD:

• \[ \angle DAB = \angle DAO + \angle OAM \]
• Так как треугольник OAD равнобедренный (OA=OD=R), угол ∠OAD = ∠ODA.
• Угол ∠AOD — центральный угол, соответствующий дуге AD.
• Из треугольника OMA, ∠AOM = 90°, но это не угол треугольника OAD.
• Рассмотрим треугольник OAC. OA = OC = R. Он равнобедренный.
• По условию, AC делит OB пополам и перпендикулярна OB.
• Рассмотрим треугольник OMA, где ∠AMO = 90°, OA = R, OM = R/2.
• \[ \cos(\angle OAM) = \frac{AM}{OA} \]
• \[ \sin(\angle OAM) = \frac{OM}{OA} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2} \]
• \[ \angle OAM = 30^° \]
• Так как AC перпендикулярна OB, то OB является биссектрисой угла ∠AOC и медианой, и высотой.
• Следовательно, \[ \angle AOM = \angle COM = 90^° \]
• \[ \angle AOC = \angle AOM + \angle COM = 90^° + 90^° = 180^° \]
• Это означает, что AC — диаметр. Но по условию BD — диаметр. Это возможно только если O — точка пересечения диагоналей.
• Если AC — диаметр, то \[ \angle ABC = 90^° \]
• И \[ \angle ADC = 90^° \]
• Если BD — диаметр, то \[ \angle BAD = 90^° \]
• И \[ \angle BCD = 90^° \]
• Это означает, что ABCD — прямоугольник.
• Вернемся к условию: Хорда АС делит пополам радиус ОВ.
• Пусть OB = R. Тогда OM = R/2, где M — точка пересечения AC и OB.
• В прямоугольном треугольнике OMA (∠AMO = 90°), OA = R, OM = R/2.
• \[ \sin(\angle OAM) = \frac{OM}{OA} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \angle OAM = 30^° \]
• \[ \angle AOC \] — центральный угол. Треугольник OAC равнобедренный (OA=OC=R).
• \[ \angle OAC = \angle OCA = 30^° \]
• \[ \angle AOC = 180^° - (30^° + 30^°) = 180^° - 60^° = 120^° \]
• \[ \angle ABC \] — вписанный угол, опирающийся на дугу AC.
• Дуга AC = ∠AOC = 120°.
• \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \text{дуги } AC = \frac{1}{2} \cdot 120^° = 60^° \]
• \[ \angle BCD \] — вписанный угол, опирающийся на дугу BAD.
• Дуга BD = 180° (диаметр).
• Дуга BAD = Дуга BA + Дуга AD.
• \[ \angle BAD \] — вписанный угол, опирающийся на дугу BCD.
• Дуга BCD = Дуга BC + Дуга CD.
• Так как BD — диаметр, то \[ \angle BCD = 90^° \]
• \[ \angle BAD = 90^° \]
• Рассмотрим треугольник OMA. ∠OAM = 30°, ∠AMO = 90°.
• \[ \angle AOM = 180^° - 90^° - 30^° = 60^° \]
• \[ \angle COD \] — центральный угол. Треугольник OCD равнобедренный (OC=OD=R).
• \[ \angle COB \] — центральный угол. Треугольник OCB равнобедренный (OC=OB=R).
• \[ \angle DOB = 180^° \]
• \[ \angle AOD \] — центральный угол. Треугольник OAD равнобедренный (OA=OD=R).
• \[ \angle BOC \] — центральный угол. Треугольник OCB равнобедренный (OC=OB=R).
• \[ \angle BOA \] — центральный угол. Треугольник OBA равнобедренный (OA=OB=R).
• \[ \angle AOM = 60^° \]
• \[ \angle AOC = 120^° \]
• \[ \angle COD \] ?
• \[ \angle BOD = 180^° \]
• \[ \angle BOC = ? \]
• \[ \angle COB = 180^° - \angle AOC = 180^° - 120^° = 60^° \]
• \[ \angle BOC = 60^° \]
• \[ \angle COB = \angle COD + \angle DOB \] — это неверно.
• \[ \angle COD = 180^° - \angle BOC = 180^° - 60^° = 120^° \]
• \[ \angle AOD = 180^° - \angle AOC = 180^° - 120^° = 60^° \]
• Проверка: \[ \angle AOC + \angle COD + \angle DOB = 120^° + 120^° + 180^° \] — не сходится.
• \[ \angle AOD = 180^° - \angle AOC = 180^° - 120^° = 60^° \] — если AC и BD пересекаются в O.
• \[ \angle COD = 180^° - \angle AOC = 180^° - 120^° = 60^° \] — если AC и BD пересекаются в O.
• \[ \angle BOC = 180^° - \angle AOC = 180^° - 120^° = 60^° \] — если AC и BD пересекаются в O.
• \[ \angle BOC = 180^° - (\angle COD + \angle DOB) \] — неверно.
• \[ \angle BOC = 180^° - \angle COD \] — если B, O, D лежат на одной линии.
• Углы четырёхугольника ABCD:
• \[ \angle BAD = 90^° \] (вписан в полуокружность).
• \[ \angle BCD = 90^° \] (вписан в полуокружность).
• \[ \angle ABC \] = 60° (нашли ранее).
• \[ \angle ADC = 180^° - \angle ABC = 180^° - 60^° = 120^° \] (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника).
• Проверка: \[ \angle BAD + \angle BCD = 90^° + 90^° = 180^° \]
• \[ \angle ABC + \angle ADC = 60^° + 120^° = 180^° \]
• Центральные углы (дуги):
• \[ \text{дуга } AC = \angle AOC = 120^° \]
• \[ \text{дуга } BC = \angle BOC = 60^° \]
• \[ \text{дуга } CD = \angle COD \]
• \[ \text{дуга } AD = \angle AOD \]
• \[ \angle BOD = 180^° \]
• \[ \angle COD = 180^° - \angle BOC = 180^° - 60^° = 120^° \]
• \[ \angle AOD = 180^° - \angle AOC = 180^° - 120^° = 60^° \]
• Итоговые градусные меры дуг:
• \[ \text{дуга } AB = \angle AOB \]
• \[ \text{дуга } AB = \text{дуга } AD + \text{дуга } DB = 60^° + 180^° \] — неверно.
• \[ \angle AOB = \angle AOC + \angle COB = 120^° + 60^° = 180^° \] — неверно, O — центр.
• \[ \text{дуга } AB = \angle AOB \]
• \[ \angle AOB = 180^° - \angle BOC = 180^° - 60^° = 120^° \] — если A, O, D на одной линии.
• \[ ext{дуга } AB \text{ опирает } \angle ACB \]
• \[ ext{дуга } BC = 60^° \]
• \[ ext{дуга } CD = 120^° \]
• \[ ext{дуга } AD = 60^° \]
• \[ ext{дуга } AB = 360^° - (60^° + 120^° + 60^°) = 360^° - 240^° = 120^° \]
• Проверка:
• \[ \text{дуга } AB + \text{дуга } BC + \text{дуга } CD + \text{дуга } AD = 120^° + 60^° + 120^° + 60^° = 360^° \]
• Углы ABCD:
• \[ \angle A = 90^° \]
• \[ \angle B = 60^° \]
• \[ \angle C = 90^° \]
• \[ \angle D = 120^° \]
• Градусные меры дуг:
• \[ \text{дуга } AB = 120^° \]
• \[ \text{дуга } BC = 60^° \]
• \[ \text{дуга } CD = 120^° \]
• \[ \text{дуга } AD = 60^° \]