Контрольная работа «Площадь фигур» 8 класс Вариант 2 1. Периметр квадрата 32 см. Найти площадь квадрата. 2. Периметр прямоугольника равен 74 см. Длина относится к ширине как 22: 15. Найти площадь прямоугольника. 3. В треугольнике АВС, угол А равен 45°, ВС = 14 см, а высота ВД делит сторону АС на отрезки АД = 9 см, ДС = 13 см. Найти высоту, проведенную к стороне BC. 4. Высоты параллелограмма равны 22 см и 24 см. Большая из сторон параллелограмма равна 20 см. Найти величину другой стороны. 5. Диагонали ромба равны 18 см и 10 см. Найти площадь ромба. 6. Вычислить площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если АД = 52 см, ВС = 38 см, угол А = 450, угол Д = 90°.

Вариант 2

1. Периметр квадрата 32 см. Найти площадь квадрата.

Решение:

Сторона квадрата: a = P / 4 = 32 / 4 = 8 см.

Площадь квадрата: S = a² = 8² = 64 см².

Ответ: 64 см²

2. Периметр прямоугольника равен 74 см. Длина относится к ширине как 22: 15. Найти площадь прямоугольника.

Решение:

Пусть длина равна 22x, ширина 15x. Тогда периметр равен 2(22x + 15x) = 74 см.

2(37x) = 74

74x = 74

x = 1

Длина = 22x = 22 × 1 = 22 см.

Ширина = 15x = 15 × 1 = 15 см.

Площадь: S = 22 × 15 = 330 см².

Ответ: 330 см²

3. В треугольнике ABC, угол A равен 45°, BC = 14 см, а высота BD делит сторону AC на отрезки AD = 9 см, DC = 13 см. Найти высоту, проведенную к стороне BC.

Решение:

Площадь треугольника ABD: S_ABD = 0.5 * AD * BD = 0.5 * 9 * BD.

Площадь треугольника BCD: S_BCD = 0.5 * DC * BD = 0.5 * 13 * BD.

Площадь треугольника ABC: S_ABC = S_ABD + S_BCD = 0.5 * (9 + 13) * BD = 0.5 * 22 * BD = 11 * BD.

В треугольнике ABD, угол A равен 45°. BD = AD * tg(45°) = 9 * 1 = 9 см.

Площадь треугольника ABC: S_ABC = 11 * 9 = 99 см².

Высота к стороне BC: h = (2 * S_ABC) / BC = (2 * 99) / 14 = 198 / 14 = 99 / 7 ≈ 14.14 см.

Ответ: 99/7 см

4. Высоты параллелограмма равны 22 см и 24 см. Большая из сторон параллелограмма равна 20 см. Найти величину другой стороны.

Решение:

Площадь параллелограмма: S = a * ha = b * hb, где a и b - стороны, ha и hb - высоты, проведенные к сторонам а и b соответственно.

20 * 22 = b * 24

b = (20 * 22) / 24 = 440 / 24 = 55 / 3 ≈ 18.33 см.

Ответ: 55/3 см

5. Диагонали ромба равны 18 см и 10 см. Найти площадь ромба.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot 10 = 90$$ см².

Ответ: 90 см²

6. Вычислить площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD = 52 см, BC = 38 см, угол A = 45°, угол D = 90°.

Решение:

Проведем высоту CH к основанию AD.

Так как угол D = 90°, то CD является высотой трапеции.

Проведем высоту BK к основанию AD.

Тогда AK = BC = 38 см.

KD = AD - AK = 52 - 38 = 14 см.

Рассмотрим треугольник ABK. Угол A = 45°, значит угол ABK = 45°, и треугольник ABK равнобедренный: BK = AK = 14 см.

Следовательно, CH = BK = 14 см.

Площадь трапеции ABCD:

$$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{52 + 38}{2} \cdot 14 = \frac{90}{2} \cdot 14 = 45 \cdot 14 = 630$$ см².

Ответ: 630 см²