Контрольная работа «Площадь фигур» 8 класс Вариант 1 1. Периметр квадрата 54 см. Найти площадь квадрата. 2. Периметр прямоугольника равен 144 см. Длина относится к ширине как 7: 5. Найти площадь прямоугольника. 3. В треугольнике АВС, угол С равен 45°, ВС = 12 см, а высота ВД делит сторону АС на отрезки АД = 5 см, ДС = 7 см. Найти высоту, проведенную к стороне ВС. 4. Высоты параллелограмма равны 14 см и 16 см. Большая из сторон параллелограмма равна 18 см. Найти величину другой стороны. 5. Диагонали ромба равны 14 см и 16 см. Найти площадь ромба. 6. Вычислить площадь трапеции АВСД с основаниями АД и ВС, если АД = 34 см, ВС = 18 см, угол А = 45°, угол Д = 90°.

Вариант 1

1. Периметр квадрата 54 см. Найти площадь квадрата.

Решение:

Обозначим сторону квадрата как a, тогда периметр P = 4a. Следовательно, $$a = \frac{P}{4} = \frac{54}{4} = 13.5$$ см.

Площадь квадрата S = a².

$$S = (13.5)^2 = 182.25$$ см².

Ответ: 182.25 см²

2. Периметр прямоугольника равен 144 см. Длина относится к ширине как 7: 5. Найти площадь прямоугольника.

Решение:

Пусть длина прямоугольника 7x, ширина 5x. Периметр равен 2(длина + ширина) = 144 см.

$$2(7x + 5x) = 144$$

$$12x = 72$$

$$x = 6$$

Длина: 7x = 7 × 6 = 42 см.

Ширина: 5x = 5 × 6 = 30 см.

Площадь прямоугольника S = длина × ширина.

S = 42 × 30 = 1260 см².

Ответ: 1260 см²

3. В треугольнике ABC, угол C равен 45°, BC = 12 см, а высота BD делит сторону AC на отрезки AD = 5 см, DC = 7 см. Найти высоту, проведенную к стороне BC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике BDC: BD = DC × tg(45°) = 7 × 1 = 7 см.

Площадь треугольника ABC: S = 0.5 × AC × BD = 0.5 × (5 + 7) × 7 = 0.5 × 12 × 7 = 42 см².

Высота h, проведенная к стороне BC: S = 0.5 × BC × h, следовательно, h = (2 × S) / BC = (2 × 42) / 12 = 7 см.

Ответ: 7 см

4. Высоты параллелограмма равны 14 см и 16 см. Большая из сторон параллелограмма равна 18 см. Найти величину другой стороны.

Решение:

Площадь параллелограмма S = a × ha = b × hb, где a и b - стороны, ha и hb - высоты, проведенные к сторонам а и b соответственно.

18 × 14 = b × 16

b = (18 × 14) / 16 = 15.75 см.

Ответ: 15.75 см

5. Диагонали ромба равны 14 см и 16 см. Найти площадь ромба.

Решение:

Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: $$S = \frac{1}{2} d_1 d_2$$, где $$d_1$$ и $$d_2$$ - диагонали ромба.

$$S = \frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 16 = 112$$ см².

Ответ: 112 см²

6. Вычислить площадь трапеции ABCD с основаниями AD и BC, если AD = 34 см, BC = 18 см, угол A = 45°, угол D = 90°.

Решение:

Проведем высоту CH к основанию AD.

Так как угол D = 90°, то CD является высотой трапеции.

Проведем высоту BK к основанию AD.

Тогда AK = BC = 18 см.

KD = AD - AK = 34 - 18 = 16 см.

Рассмотрим треугольник ABK. Угол A = 45°, значит угол ABK = 45°, и треугольник ABK равнобедренный: BK = AK = 16 см.

Следовательно, CH = BK = 16 см.

Площадь трапеции ABCD:

$$S = \frac{AD + BC}{2} \cdot CH = \frac{34 + 18}{2} \cdot 16 = \frac{52}{2} \cdot 16 = 26 \cdot 16 = 416$$ см².

Ответ: 416 см²