Контрольная работа№3 "Углы и расстояния" 1 вариант 1. Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат; диагональ параллелепипеда равна 3√6 см, а его измерения относятся как 3 :3 : 6. Найдите: а) измерения параллелепипеда; б) синус угла между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. 2. Плоскости равнобедренных треугольников ABD и АВС с общим основанием перпендикулярны. Найдите CD, если AD=10 см, АВ=16 см, ∠CAB=450. 3. Сторона квадрата MNKL равна с. Через сторону ML проведена плоскость а на расстоян от точки №. 2 а) Найдите расстояние от точки № до плоскости а. б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла NMLF, FEa.

1 Вариант

1. Прямоугольный параллелепипед

а) Пусть измерения параллелепипеда 3x, 3x, 6x. Тогда диагональ d: \[d = \sqrt{(3x)^2 + (3x)^2 + (6x)^2} = \sqrt{9x^2 + 9x^2 + 36x^2} = \sqrt{54x^2} = 3x\sqrt{6}\] Дано, что \(d = 3\sqrt{6}\), следовательно: \[3x\sqrt{6} = 3\sqrt{6}\] Отсюда, x = 1. Значит, измерения параллелепипеда: 3 см, 3 см, 6 см. б) Пусть \(\alpha\) - угол между диагональю и плоскостью основания. Тогда: \[sin(\alpha) = \frac{6}{\sqrt{3^2 + 3^2 + 6^2}} = \frac{6}{\sqrt{54}} = \frac{6}{3\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\] Ответ: а) 3 см, 3 см, 6 см. б) \(\frac{\sqrt{6}}{3}\)

2. Равнобедренные треугольники

Поскольку плоскости треугольников ABD и ABC перпендикулярны, и AD = 10 см, AB = 16 см, ∠CAB = 45°, можем найти CD, используя теорему Пифагора для треугольника ADC. Сначала найдем AC из треугольника ABC: \[\frac{AC}{sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{sin(\angle ACB)}\] Т.к. \(\angle CAB = 45°\) и треугольник ABC равнобедренный, то \(\angle ACB = \angle ABC = \frac{180 - 45}{2} = 67.5°\) Тогда по теореме синусов: \[AC = AB \cdot \frac{sin(\angle ABC)}{sin(\angle ACB)} = 16 \cdot \frac{sin(67.5)}{sin(67.5)} = 16\cdot sin(45) \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 8\sqrt{2}\] Теперь найдем CD по теореме Пифагора для треугольника ADC, где AC и AD - катеты: \[CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{(8\sqrt{2})^2 + 10^2} = \sqrt{128 + 100} = \sqrt{228} = 2\sqrt{57}\] Ответ: \(CD = 2\sqrt{57}\) см.

3. Квадрат MNKL

a) Расстояние от точки N до плоскости \(\alpha\) равно расстоянию от середины стороны ML до этой плоскости, т.е. равно c/2. б) Угол NMLF - прямой, так как плоскость \(\alpha\) перпендикулярна квадрату MNKL.

Проверка за 10 секунд: Пересмотри расчеты диагонали параллелепипеда и применение теоремы Пифагора.

Читерский прием: Помни, что в прямоугольном параллелепипеде все углы между гранями прямые, и это упрощает расчеты.