Конус № 4. Площадь боковой поверхности конуса равна 13, длина образующей — \(\frac{1}{\sqrt{3\pi}}\). Найдите площадь основания конуса.

Используем формулы \(S_{\text{бок}}=\pi rl\) и \(S_{\text{осн}}=\pi r^2\). В условии читается \(l=\frac{1}{\sqrt{3\pi}}\).

Из формулы боковой площади выразим радиус: \(r=\frac{S_{\text{бок}}}{\pi l}\).

Тогда \(S_{\text{осн}}=\pi\left(\frac{S_{\text{бок}}}{\pi l}\right)^2=\frac{S_{\text{бок}}^2}{\pi l^2}\).

Подставим значения: \(S_{\text{осн}}=\frac{13^2}{\pi\cdot\frac{1}{3\pi}}=507\).

Ответ: 507.