3 Корни квадратного уравнения х² – x + q = 0 удовлетворяют условию 7х, + 6x2 = 0. Найдите эти корни и коэффициент q.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ корни квадратного уравнения $$x^2 - x + q = 0$$. По теореме Виета имеем: $$x_1 + x_2 = 1$$, $$x_1 \cdot x_2 = q$$. Из условия известно, что $$7x_1 + 6x_2 = 0$$.

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x_1 + x_2 = 1 \\ 7x_1 + 6x_2 = 0 \end{cases} $$

Выразим $$x_1$$ из первого уравнения: $$x_1 = 1 - x_2$$. Подставим это выражение во второе уравнение: $$7(1 - x_2) + 6x_2 = 0$$. Раскроем скобки: $$7 - 7x_2 + 6x_2 = 0$$. Приведем подобные слагаемые: $$7 - x_2 = 0$$. Решим уравнение относительно $$x_2$$: $$x_2 = 7$$.

Теперь найдем $$x_1$$: $$x_1 = 1 - x_2 = 1 - 7 = -6$$.

Найдем коэффициент q: $$q = x_1 \cdot x_2 = -6 \cdot 7 = -42$$.

Ответ: $$x_1 = -6$$, $$x_2 = 7$$, $$q = -42$$