1 Решите уравнение: а) 3x² – 7x + 2 = 0; б) 25x² – 81 = 0; в) 6х2 = 18x; г) (x – 2)² – 3(x – 2) – 54 = 0.

№ 1. Решим уравнения:

а) 3x² – 7x + 2 = 0

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac$$

В данном случае a = 3, b = -7, c = 2.

$$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$x_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$$ $$x_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

б) 25x² – 81 = 0

Это уравнение можно решить, используя формулу разности квадратов: $$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$$.

В данном случае: $$(5x)^2 - 9^2 = 0$$

Раскладываем на множители:

$$(5x - 9)(5x + 9) = 0$$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$$5x - 9 = 0 \Rightarrow 5x = 9 \Rightarrow x = \frac{9}{5} = 1.8$$ $$5x + 9 = 0 \Rightarrow 5x = -9 \Rightarrow x = -\frac{9}{5} = -1.8$$

в) 6x² = 18x

Перенесем все в одну сторону:

$$6x^2 - 18x = 0$$

Вынесем общий множитель за скобки:

$$6x(x - 3) = 0$$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

$$6x = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$$

г) (x – 2)² – 3(x – 2) – 54 = 0

Введем замену переменной: $$y = x - 2$$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 - 3y - 54 = 0$$

Решаем квадратное уравнение относительно y:

Используем формулу дискриминанта:

$$D = b^2 - 4ac$$

В данном случае a = 1, b = -3, c = -54.

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$$

Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два корня:

$$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$$ $$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$$

Подставляем значения:

$$y_1 = \frac{3 + \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 15}{2} = \frac{18}{2} = 9$$ $$y_2 = \frac{3 - \sqrt{225}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 15}{2} = \frac{-12}{2} = -6$$

Теперь возвращаемся к замене: $$y = x - 2$$.

Находим x:

$$x_1 = y_1 + 2 = 9 + 2 = 11$$ $$x_2 = y_2 + 2 = -6 + 2 = -4$$

Ответ: а) 1/3; 2; б) -1,8; 1,8; в) 0; 3; г) -4; 11.