Кожны з вучняў класа наведвае факультатывы: 16 чалавек — па фізіцы, 11 — па хіміі і 10 — па матэматыцы, 8 чалавек — па фізіцы і хіміі, 6 — па матэматыцы і фізіцы, 4 — па матэматыцы і хіміі. Адзін чалавек наведвае ўсе тры факультатывы. Колькі чалавек у класе: a) 30; б) 20; в) 29; г) 21?

Рашэнне:

Выкарыстаем прынцып уключэння-выключэння для трох мностваў. Няхай:

• F — мноства вучняў, якія наведваюць факультатыў па фізіцы.
• H — мноства вучняў, якія наведваюць факультатыў па хіміі.
• M — мноства вучняў, якія наведваюць факультатыў па матэматыцы.

Па ўмове задачы:

• $$|F| = 16$$
• $$|H| = 11$$
• $$|M| = 10$$
• $$|F \cap H| = 8$$ (фізіка і хімія)
• $$|M \cap F| = 6$$ (матэматыка і фізіка)
• $$|M \cap H| = 4$$ (матэматыка і хімія)
• $$|F \cap H \cap M| = 1$$ (усе тры)

Колькасць вучняў у класе роўна колькасці элементаў у аб'яднанні гэтых трох мностваў $$|F \cup H \cup M|$$.

Па формуле прынцыпу ўключэння-выключэння:

$$|F \cup H \cup M| = |F| + |H| + |M| - |F \cap H| - |M \cap F| - |M \cap H| + |F \cap H \cap M|$$

$$|F \cup H \cup M| = 16 + 11 + 10 - 8 - 6 - 4 + 1$$

$$|F \cup H \cup M| = 37 - 18 + 1$$

$$|F \cup H \cup M| = 19 + 1$$

$$|F \cup H \cup M| = 20$$

Такім чынам, у класе 20 вучняў.

Адказ: б) 20.