Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок, делая первый прыжок из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, совершив ровно 5 прыжков?

Question

Accepted Answer

Пусть \( k \) — количество прыжков вправо, а \( m \) — количество прыжков влево. Тогда общее количество прыжков равно \( k + m = 5 \).

Положение кузнечика после 5 прыжков будет равно \( k - m \).

Мы знаем, что \( k + m = 5 \). Выразим \( m \) через \( k \): \( m = 5 - k \).

Подставим это в выражение для положения: \( k - (5 - k) = k - 5 + k = 2k - 5 \).

Теперь определим возможные значения \( k \) (количество прыжков вправо). \( k \) может принимать значения от 0 до 5:

Если \( k=0 \), положение = \( 2(0) - 5 = -5 \).
Если \( k=1 \), положение = \( 2(1) - 5 = -3 \).
Если \( k=2 \), положение = \( 2(2) - 5 = -1 \).
Если \( k=3 \), положение = \( 2(3) - 5 = 1 \).
Если \( k=4 \), положение = \( 2(4) - 5 = 3 \).
Если \( k=5 \), положение = \( 2(5) - 5 = 5 \).

Таким образом, кузнечик может оказаться в точках -5, -3, -1, 1, 3, 5. Всего таких точек 6.

Ответ: 6