\( \left( b^{\frac{\log_{100} a}{\lg a}} \cdot a^{\frac{\log_{100} b}{\lg b}} \right) 2\log_{ab}(a+b) \)

Решение:

1. Используем формулу перехода логарифмов: \( \log_c a = \frac{\log_d a}{\log_d c} \).
2. \( \frac{\log_{100} a}{\lg a} = \frac{\frac{\lg a}{\lg 100}}{\lg a} = \frac{1}{\lg 100} = \frac{1}{2} \)
3. \( \frac{\log_{100} b}{\lg b} = \frac{\frac{\lg b}{\lg 100}}{\lg b} = \frac{1}{\lg 100} = \frac{1}{2} \)
4. Подставляем в выражение: \( \left( b^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} \right)^{2\log_{ab}(a+b)} = \left( \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} \right)^{2\log_{ab}(a+b)} = \left( \sqrt{ab} \right)^{2\log_{ab}(a+b)} = (ab)^{\frac{1}{2} \cdot 2\log_{ab}(a+b)} = (ab)^{\log_{ab}(a+b)} \)
5. Используем свойство \( b^{\log_b a} = a \).
6. \( (ab)^{\log_{ab}(a+b)} = a+b \)

Ответ: \( a+b \)