3. lg(3x² + 12x + 19) - lg(3x + 4) = 1

3. $$lg(3x^2 + 12x + 19) - lg(3x + 4) = 1$$

Используем свойство логарифмов: $$log_a(b) - log_a(c) = log_a(\frac{b}{c})$$.

$$lg(\frac{3x^2 + 12x + 19}{3x + 4}) = 1$$

Избавляемся от логарифма, используя определение: $$log_a(b) = c$$ эквивалентно $$a^c = b$$.

$$ \frac{3x^2 + 12x + 19}{3x + 4} = 10^1$$

$$3x^2 + 12x + 19 = 10(3x + 4)$$

$$3x^2 + 12x + 19 = 30x + 40$$

$$3x^2 - 18x - 21 = 0$$

Делим на 3:

$$x^2 - 6x - 7 = 0$$

Решаем квадратное уравнение.

$$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$

$$x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 8}{2} = 7$$

$$x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 8}{2} = -1$$

Проверяем корни, подставляя их в исходное уравнение.

При $$x = 7$$: $$lg(3(7)^2 + 12(7) + 19) - lg(3(7) + 4) = lg(147 + 84 + 19) - lg(21 + 4) = lg(250) - lg(25) = lg(\frac{250}{25}) = lg(10) = 1$$. Корень подходит.

При $$x = -1$$: $$lg(3(-1)^2 + 12(-1) + 19) - lg(3(-1) + 4) = lg(3 - 12 + 19) - lg(-3 + 4) = lg(10) - lg(1) = 1 - 0 = 1$$. Корень подходит.

Ответ: -1; 7