2. log√(x - 4) + log√(x + 1) = 2

2. $$log_{\sqrt{6}}(x - 4) + log_{\sqrt{6}}(x + 1) = 2$$

Используем свойство логарифмов: $$log_a(b) + log_a(c) = log_a(b \cdot c)$$.

$$log_{\sqrt{6}}((x - 4)(x + 1)) = 2$$

Избавляемся от логарифма, используя определение: $$log_a(b) = c$$ эквивалентно $$a^c = b$$.

$$(x - 4)(x + 1) = (\sqrt{6})^2$$

$$x^2 + x - 4x - 4 = 6$$

$$x^2 - 3x - 10 = 0$$

Решаем квадратное уравнение.

$$D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49$$

$$x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 7}{2} = 5$$

$$x_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 7}{2} = -2$$

Проверяем корни, подставляя их в исходное уравнение.

При $$x = 5$$: $$log_{\sqrt{6}}(5 - 4) + log_{\sqrt{6}}(5 + 1) = log_{\sqrt{6}}(1) + log_{\sqrt{6}}(6) = 0 + 2 = 2$$. Корень подходит.

При $$x = -2$$: $$log_{\sqrt{6}}(-2 - 4) + log_{\sqrt{6}}(-2 + 1) = log_{\sqrt{6}}(-6) + log_{\sqrt{6}}(-1)$$. Логарифм от отрицательного числа не существует, следовательно, корень не подходит.

Ответ: 5