ли среднюю линию А₁С₁, в треуголь- нике А1ВС₁ также провели среднюю линию А2С2, во вновь образовавшем- ся треугольнике А2ВС₂ снова прове- ли среднюю линию АзС3 и т. д. Най- дите площадь треугольника А9BC9, если известно, что площадь треуголь- ника АВС равна 768 см². 2 A Az Az A1 Рис. 72 B

Решение:

• После каждого проведения средней линии площадь треугольника уменьшается в 4 раза, так как средняя линия отсекает треугольник, подобный исходному с коэффициентом подобия 1/2, а отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия.
• Средние линии проводятся 8 раз (от A₁C₁ до A₉C₉).
• Значит, площадь треугольника A₉BC₉ будет в 4⁸ раз меньше площади треугольника ABC.
• Площадь треугольника ABC равна 768 см².

Площадь треугольника A₉BC₉: \[ \frac{768}{4^8} = \frac{768}{65536} = \frac{3}{256} \quad \text{см}^2. \]

Ответ: \(\frac{3}{256}\) см²