4 lim x→8 √9+2x-5/√x-2

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение для числителя:

$$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 + 2x} - 5}{\sqrt{x} - 2} = \lim_{x \to 8} \frac{(\sqrt{9 + 2x} - 5)(\sqrt{9 + 2x} + 5)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{9 + 2x} + 5)} = \lim_{x \to 8} \frac{9 + 2x - 25}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{9 + 2x} + 5)} = \lim_{x \to 8} \frac{2x - 16}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{9 + 2x} + 5)} = \lim_{x \to 8} \frac{2(x - 8)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{9 + 2x} + 5)}$$

Умножим числитель и знаменатель на $$(\sqrt{x} + 2)$$:

$$\lim_{x \to 8} \frac{2(x - 8)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{9 + 2x} + 5)} = \lim_{x \to 8} \frac{2(x - 8)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{9 + 2x} + 5)}$$ $$\lim_{x \to 8} \frac{2(\sqrt{x} + 2)}{\sqrt{9 + 2x} + 5} = \frac{2(\sqrt{8} + 2)}{\sqrt{9 + 2(8)} + 5} = \frac{2(2\sqrt{2} + 2)}{\sqrt{25} + 5} = \frac{4\sqrt{2} + 4}{10} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{5}$$

Ответ: $$\frac{2\sqrt{2} + 2}{5}$$