499. Лодка прошла 34 км по течению реки и 39 км против течения, потратив на это столько времени, сколько ей требуется, чтобы проплыть в стоячей воде 75 км. Найдите отношение скорости лодки в стоячей воде к скорости течения.

Пусть V_л – скорость лодки в стоячей воде, V_р – скорость течения реки.

Тогда время, затраченное на путь по течению, равно 34 / (V_л + V_р), а время, затраченное на путь против течения, равно 39 / (V_л - V_р).

Общее время, затраченное на оба пути, равно:

34 / (V_л + V_р) + 39 / (V_л - V_р)

Время, необходимое лодке, чтобы проплыть 75 км в стоячей воде, равно 75 / V_л.

Составим уравнение:

34 / (V_л + V_р) + 39 / (V_л - V_р) = 75 / V_л

Приведём к общему знаменателю:

(34(V_л - V_р) + 39(V_л + V_р)) / ((V_л + V_р)(V_л - V_р)) = 75 / V_л

Упростим числитель:

(34V_л - 34V_р + 39V_л + 39V_р) / (V_л² - V_р²) = 75 / V_л

(73V_л + 5V_р) / (V_л² - V_р²) = 75 / V_л

Перемножим крест-накрест:

V_л(73V_л + 5V_р) = 75(V_л² - V_р²)

73V_л² + 5V_лV_р = 75V_л² - 75V_р²

2V_л² - 5V_лV_р - 75V_р² = 0

Разделим обе части уравнения на V_р²:

2(V_л/V_р)² - 5(V_л/V_р) - 75 = 0

Обозначим x = V_л/V_р. Тогда уравнение принимает вид:

2x² - 5x - 75 = 0

Решим квадратное уравнение:

D = (-5)² - 4 × 2 × (-75) = 25 + 600 = 625

x₁ = (5 + √625) / (2 × 2) = (5 + 25) / 4 = 30 / 4 = 7.5

x₂ = (5 - 25) / 4 = -20 / 4 = -5 (не подходит, так как отношение скоростей не может быть отрицательным)

Следовательно, V_л / V_р = 7.5

Ответ: 7.5