log½ (26-20x)/(3x+4) = -2

Решение:

Для решения уравнения \( \log_{\frac{1}{2}} \frac{26 - 20x}{3x + 4} = -2 \) используем определение логарифма: \( \frac{26 - 20x}{3x + 4} = (\frac{1}{2})^{-2} \).

1. Преобразуем правую часть: \( (\frac{1}{2})^{-2} = 2^2 = 4 \).
2. Получим уравнение: \( \frac{26 - 20x}{3x + 4} = 4 \).
3. Умножим обе части на \( 3x + 4 \) (при условии \( x \neq -\frac{4}{3} \)): \( 26 - 20x = 4(3x + 4) \).
4. Раскроем скобки: \( 26 - 20x = 12x + 16 \).
5. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую: \( 26 - 16 = 12x + 20x \), что даёт \( 10 = 32x \).
6. Разделим обе части на 32: \( x = \frac{10}{32} = \frac{5}{16} \).
7. Проверим, что знаменатель не равен нулю: \( 3x + 4 = 3(\frac{5}{16}) + 4 = \frac{15}{16} + \frac{64}{16} = \frac{79}{16} \neq 0 \).
8. Проверим, что аргумент логарифма положителен: \( \frac{26 - 20(\frac{5}{16})}{3(\frac{5}{16}) + 4} = \frac{26 - \frac{100}{16}}{\frac{15}{16} + \frac{64}{16}} = \frac{26 - \frac{25}{4}}{\frac{79}{16}} = \frac{\frac{104 - 25}{4}}{\frac{79}{16}} = \frac{\frac{79}{4}}{\frac{79}{16}} = \frac{79}{4} \cdot \frac{16}{79} = 4 > 0 \).

Ответ: x = \(\frac{5}{16}\).