log₄ (4+2x)/(x-5) = 2

Решение:

Для решения уравнения \( \log_4 \frac{4 + 2x}{x - 5} = 2 \) используем определение логарифма: \( \frac{4 + 2x}{x - 5} = 4^2 \).

1. Преобразуем правую часть: \( 4^2 = 16 \).
2. Получим уравнение: \( \frac{4 + 2x}{x - 5} = 16 \).
3. Умножим обе части на \( x - 5 \) (при условии \( x \neq 5 \)): \( 4 + 2x = 16(x - 5) \).
4. Раскроем скобки: \( 4 + 2x = 16x - 80 \).
5. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую: \( 4 + 80 = 16x - 2x \), что даёт \( 84 = 14x \).
6. Разделим обе части на 14: \( x = \frac{84}{14} = 6 \).
7. Проверим, что знаменатель не равен нулю: \( x - 5 = 6 - 5 = 1 \neq 0 \).
8. Проверим, что аргумент логарифма положителен: \( \frac{4 + 2(6)}{6 - 5} = \frac{4 + 12}{1} = 16 > 0 \).

Ответ: x = 6.