log₆ (3x+2)/(2x-7) = -1

Решение:

Для решения уравнения \( \log_6 \frac{3x + 2}{2x - 7} = -1 \) используем определение логарифма: \( \frac{3x + 2}{2x - 7} = 6^{-1} \).

1. Преобразуем правую часть: \( 6^{-1} = \frac{1}{6} \).
2. Получим уравнение: \( \frac{3x + 2}{2x - 7} = \frac{1}{6} \).
3. Умножим крест-накрест: \( 6(3x + 2) = 1(2x - 7) \).
4. Раскроем скобки: \( 18x + 12 = 2x - 7 \).
5. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую: \( 18x - 2x = -7 - 12 \), что даёт \( 16x = -19 \).
6. Разделим обе части на 16: \( x = \frac{-19}{16} \).
7. Проверим, что знаменатель не равен нулю: \( 2x - 7 = 2(-\frac{19}{16}) - 7 = -\frac{19}{8} - 7 = \frac{-19 - 56}{8} = -\frac{75}{8} \neq 0 \).
8. Проверим, что аргумент логарифма положителен: \( \frac{3(-\frac{19}{16}) + 2}{2(-\frac{19}{16}) - 7} = \frac{-\frac{57}{16} + \frac{32}{16}}{-\frac{19}{8} - \frac{56}{8}} = \frac{-\frac{25}{16}}{-\frac{75}{8}} = \frac{25}{16} \cdot \frac{8}{75} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} > 0 \).

Ответ: x = -\(\frac{19}{16}\).