log₂(x²-13x+30) ≤ 3

Решение:

1. Перепишем неравенство: \( \log_{2}(x^2-13x+30) \leq 3 \).
2. Так как основание логарифма \( 2 > 1 \), то функция \( y = \log_{2}(x) \) возрастающая. Снимаем логарифм, сохраняя знак неравенства: \( x^2-13x+30 \leq 2^3 \).
3. \( x^2-13x+30 \leq 8 \).
4. Перенесём всё в левую часть: \( x^2-13x+30 - 8 \leq 0 \).
5. \( x^2-13x+22 \leq 0 \).
6. Найдём корни уравнения \( x^2-13x+22 = 0 \). Используем дискриминант: \( D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 22 = 169 - 88 = 81 \).
7. \( \sqrt{D} = 9 \).
8. \( x_1 = \frac{13 + 9}{2} = \frac{22}{2} = 11 \).
9. \( x_2 = \frac{13 - 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \).
10. Таким образом, \( x^2-13x+22 \leq 0 \) при \( 2 \leq x \leq 11 \).
11. Учтём область определения логарифма: \( x^2-13x+30 > 0 \). Корни уравнения \( x^2-13x+30 = 0 \) равны \( x = 3 \) и \( x = 10 \). Значит, \( x^2-13x+30 > 0 \) при \( x < 3 \) или \( x > 10 \).
12. Объединяя условия \( 2 \leq x \leq 11 \) и \( x < 3 \) или \( x > 10 \), получаем: \( 2 \leq x < 3 \) или \( 10 < x \leq 11 \).

Ответ: \( [2, 3) \cup (10, 11] \).