log₁₄(x²+2x-8)<2

Решение:

1. Перепишем неравенство, используя свойства логарифмов: \( \log_{14}(x^2+2x-8) < 2 \).
2. Так как основание логарифма \( 14 > 1 \), то функция \( y = \log_{14}(x) \) возрастающая. Следовательно, мы можем снять логарифм, сохранив знак неравенства: \( x^2+2x-8 < 14^2 \).
3. \( x^2+2x-8 < 196 \).
4. Перенесём все члены в левую часть: \( x^2+2x-8-196 < 0 \).
5. \( x^2+2x-204 < 0 \).
6. Теперь найдём корни квадратного уравнения \( x^2+2x-204 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-204) = 4 + 816 = 820 \).
7. \( \sqrt{D} = \sqrt{820} = \sqrt{4 \cdot 205} = 2\sqrt{205} \).
8. \( x_1 = \frac{-2 + 2\sqrt{205}}{2} = -1 + \sqrt{205} \).
9. \( x_2 = \frac{-2 - 2\sqrt{205}}{2} = -1 - \sqrt{205} \).
10. Таким образом, неравенство \( x^2+2x-204 < 0 \) выполняется при \( -1 - \sqrt{205} < x < -1 + \sqrt{205} \).
11. Также необходимо учесть область определения логарифма, то есть \( x^2+2x-8 > 0 \). Корни уравнения \( x^2+2x-8 = 0 \) равны \( x = -4 \) и \( x = 2 \). Следовательно, \( x^2+2x-8 > 0 \) при \( x < -4 \) или \( x > 2 \).
12. Объединяя условия, получаем: \( -1 - \sqrt{205} < x < -4 \) или \( 2 < x < -1 + \sqrt{205} \).
13. Приблизительные значения: \( \sqrt{205} \approx 14.32 \).
14. \( x_1 \approx -1 - 14.32 = -15.32 \).
15. \( x_2 \approx -1 + 14.32 = 13.32 \).
16. Итак, \( -15.32 < x < -4 \) или \( 2 < x < 13.32 \).

Ответ: \( (-1 - \sqrt{205}, -4) \cup (2, -1 + \sqrt{205}) \).