log₁₅(x²-6x+2) ≥ -1

Решение:

1. Перепишем неравенство, используя свойства логарифмов: \( \log_{15}(x^2-6x+2) \geq -1 \).
2. Так как основание логарифма \( 15 > 1 \), то функция \( y = \log_{15}(x) \) возрастающая. Следовательно, мы можем снять логарифм, сохранив знак неравенства: \( x^2-6x+2 \geq 15^{-1} \).
3. \( x^2-6x+2 \geq \frac{1}{15} \).
4. Перенесём все члены в левую часть: \( x^2-6x+2 - \frac{1}{15} \geq 0 \).
5. \( x^2-6x + \frac{30-1}{15} \geq 0 \).
6. \( x^2-6x + \frac{29}{15} \geq 0 \).
7. Теперь найдём корни квадратного уравнения \( x^2-6x + \frac{29}{15} = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot \frac{29}{15} = 36 - \frac{116}{15} = \frac{540 - 116}{15} = \frac{424}{15} \).
8. \( \sqrt{D} = \sqrt{\frac{424}{15}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 26.5}{15}} = 4\sqrt{\frac{26.5}{15}} \).
9. \( x_1 = \frac{6 + \sqrt{\frac{424}{15}}}{2} = 3 + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{424}{15}} \).
10. \( x_2 = \frac{6 - \sqrt{\frac{424}{15}}}{2} = 3 - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{424}{15}} \).
11. Также необходимо учесть область определения логарифма, то есть \( x^2-6x+2 > 0 \). Корни уравнения \( x^2-6x+2 = 0 \) равны \( x = 3 \pm \sqrt{7} \). Следовательно, \( x^2-6x+2 > 0 \) при \( x < 3 - \sqrt{7} \) или \( x > 3 + \sqrt{7} \).
12. \( \frac{1}{2}\sqrt{\frac{424}{15}} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{424 \cdot 15}}{15} = \frac{\sqrt{6360}}{30} \). \( \sqrt{6360} \approx 79.75 \). \( \frac{79.75}{30} \approx 2.66 \).
13. \( x_1 \approx 3 + 2.66 = 5.66 \).
14. \( x_2 \approx 3 - 2.66 = 0.34 \).
15. \( \sqrt{7} \approx 2.65 \).
16. \( 3 - \sqrt{7} \approx 3 - 2.65 = 0.35 \).
17. \( 3 + \sqrt{7} \approx 3 + 2.65 = 5.65 \).
18. Объединяя условия \( x^2-6x + \frac{29}{15} \geq 0 \) (т.е. \( x \leq 0.34 \) или \( x \geq 5.66 \)) и \( x < 0.35 \) или \( x > 5.65 \), получаем: \( x \leq 3 - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{424}{15}} \) или \( x \geq 3 + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{424}{15}} \).

Ответ: \( \left(-\infty; 3 - \frac{1}{2}\sqrt{\frac{424}{15}}\right] \cup \left[3 + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{424}{15}}; +\infty\right) \).