14. Маше надо подписать 315 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днём. Известно, что за первый день Маша подписала 7 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за шестой день, если вся работа была выполнена за 15 дней.

Пусть $$a_1$$ - количество открыток, подписанных в первый день, $$d$$ - ежедневная разница, $$n$$ - количество дней. Тогда количество открыток, подписанных в $$n$$-й день, равно $$a_n = a_1 + (n-1)d$$. Общее количество открыток равно сумме арифметической прогрессии: $$S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$$.

В нашем случае $$a_1 = 7$$, $$S_{15} = 315$$, $$n = 15$$. Тогда:

$$315 = \frac{15(7 + a_{15})}{2}$$.

$$315 \cdot 2 = 15(7 + a_{15})$$.

$$630 = 105 + 15a_{15}$$.

$$525 = 15a_{15}$$.

$$a_{15} = 35$$.

Теперь найдем $$d$$: $$35 = 7 + (15-1)d$$.

$$28 = 14d$$.

$$d = 2$$.

Найдём, сколько открыток было подписано в шестой день: $$a_6 = a_1 + 5d = 7 + 5 \cdot 2 = 7 + 10 = 17$$.