5*. Масса Земли равна 6 · 1024 кг, а масса Луны — 7 · 1022 кг. Считая, что Луна движется вокруг Земли по окружности радиусом 384 000 км, определите: а) силу притяжения между Землёй и Луной; б) центро-стремительное ускорение, с которым Луна движется вокруг Земли; в) модуль скорости движения Луны относительно Земли.

Дано:

$$M_\text{З} = 6 \cdot 10^{24} \text{ кг}$$ $$M_\text{Л} = 7 \cdot 10^{22} \text{ кг}$$ $$R = 384000 \text{ км} = 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}$$ $$G = 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2}$$

Найти:

а) $$F$$

б) $$a$$

в) $$v$$

Решение:

а) Сила притяжения между Землей и Луной (закон всемирного тяготения):

$$F = G \frac{M_\text{З} M_\text{Л}}{R^2} = 6.674 \cdot 10^{-11} \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{кг}^2} \cdot \frac{6 \cdot 10^{24} \text{ кг} \cdot 7 \cdot 10^{22} \text{ кг}}{(3.84 \cdot 10^8 \text{ м})^2} = 6.674 \cdot \frac{6 \cdot 7}{3.84^2} \cdot 10^{-11+24+22-16} \text{ Н} = \frac{6.674 \cdot 42}{14.7456} \cdot 10^{19} \text{ Н} \approx 19.03 \cdot 10^{19} \text{ Н} = 1.903 \cdot 10^{20} \text{ Н}$$

б) Центростремительное ускорение Луны:

$$a = \frac{F}{M_\text{Л}} = \frac{1.903 \cdot 10^{20} \text{ Н}}{7 \cdot 10^{22} \text{ кг}} = \frac{1.903}{7} \cdot 10^{20-22} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \approx 0.272 \cdot 10^{-2} \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0.00272 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$

в) Модуль скорости движения Луны относительно Земли:

$$a = \frac{v^2}{R} \Rightarrow v = \sqrt{aR} = \sqrt{0.00272 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 3.84 \cdot 10^8 \text{ м}} = \sqrt{0.00272 \cdot 3.84 \cdot 10^8} \frac{\text{м}}{\text{с}} = \sqrt{1.04448 \cdot 10^6} \frac{\text{м}}{\text{с}} \approx 1022 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$

Ответ: а) $$1.903 \cdot 10^{20} \text{ Н}$$, б) $$0.00272 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$$, в) $$1022 \frac{\text{м}}{\text{с}}$$