Математика. 9 класс. Вариант МА2590502. На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 120.

Решение:

Длина звеньев «змейки» увеличивается в арифметической прогрессии. В задаче дано, что последнее звено имеет длину 10, и это соответствует случаю, когда общее число звеньев чётное. Длина ломаной — это сумма длин всех её звеньев.

Рассмотрим, как растёт длина звеньев. Пусть длины звеньев равны \( a_1, a_2, ..., a_n \). Если последнее звено \( a_n = 10 \), и оно является 10-м звеном (так как чётное число звеньев, и оно последнее), то последовательность длин может выглядеть так: 2, 4, 6, 8, 10. В этом случае сумма равна \( 2+4+6+8+10 = 30 \).

Если последнее звено имеет длину 120, и построенная ломаная аналогична, то последнее звено также будет 10-м звеном в новой последовательности. Длина последнего звена — \( a_{10} = 120 \). Если предположить, что первое звено равно 2, то разность прогрессии \( d = \frac{120-2}{9} = \frac{118}{9} \), что не является целым числом, и противоречит условию, что звенья идут по линиям сетки.

Рассмотрим другой подход: длина звеньев — это числа, идущие по линиям сетки. Если последнее звено равно 10, то это может быть 5-е звено, если начать с 2, или 6-е звено, если начать с 1. Если предположить, что длина звеньев — это последовательность \( 2, 4, 6, 8, 10 \), то последнее звено — 5-е. Общее число звеньев — 10. Тогда сумма равна \( S_{10} = \frac{2+10}{2} \times 5 = 30 \).

Если последнее звено равно 120, и оно соответствует 10-му звену, то последовательность может быть: \( a_1, a_2, ..., a_{10} \), где \( a_{10} = 120 \).

Если предположить, что длина звеньев — это последовательность \( 2, 4, 6, ..., 120 \), то это 60 звеньев. \( a_n = 2 + (n-1)2 = 120 \) \( 2(n-1) = 118 \) \( n-1 = 59 \) \( n = 60 \). Сумма 60 звеньев: \( S_{60} = \frac{2+120}{2} \times 60 = 62 \times 30 = 1860 \).

Если предположить, что «последнее звено» — это самое длинное звено, и оно является 10-м по счёту, то \( a_{10} = 120 \). Если первое звено \( a_1=2 \), то \( d = \frac{120-2}{9} = \frac{118}{9} \) — не подходит.

Если предположить, что длина звеньев — это \( 2, 4, 6, ... \), и последнее звено равно 10, то это 5-е звено. И таких пар звеньев 5. Общая длина = \( 2(2+4+6+8+10) = 2 \times 30 = 60 \).

Если последнее звено равно 120, и это 60-е звено (т.е. 30 пар), то \( 2(2+4+...+120) = 2 \times 1860 = 3720 \).

Проверим условие: «чётного числа звеньев». Если последнее звено — 10, и это \( a_k = 10 \), то \( k \) — число звеньев. Если \( k \) — чётное, например \( k=10 \), то \( a_{10}=10 \). \( 2 + (10-1)d = 10 \) \( 9d = 8 \) — не подходит.

Рассмотрим рисунок: звенья увеличиваются. Если последнее звено 10, то это может быть 5-е звено в прогрессии \( 2, 4, 6, 8, 10 \). Тогда всего звеньев 10 (5 пар). Сумма = \( 2 \times (2+4+6+8+10) = 60 \).

Если последнее звено 120, то это 60-е звено в прогрессии \( 2, 4, ..., 120 \). Тогда всего звеньев 120 (60 пар). Сумма = \( 2 \times (2+4+...+120) = 2 \times \frac{2+120}{2} \times 60 = 2 \times 62 \times 30 = 3720 \).

Ответ: 3720