Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = 1/2 * t^4 + 4t^3 - 3t - 21 (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t = 1 с.

Решение:

Скорость материальной точки является первой производной от закона ее движения по времени. Нам дан закон движения:

x(t) = \frac{1}{2}t^4 + 4t^3 - 3t - 21

Найдем производную функции x(t) по времени t:

v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{2}t^4 + 4t^3 - 3t - 21)

Применяем правила дифференцирования:

• Производная от \(\frac{1}{2}t^4\) равна \(\frac{1}{2} \cdot 4t^{4-1} = 2t^3\).
• Производная от \(4t^3\) равна \(4 \cdot 3t^{3-1} = 12t^2\).
• Производная от \(-3t\) равна \(-3\).
• Производная от константы \(-21\) равна \(0\).

Таким образом, функция скорости имеет вид:

v(t) = 2t^3 + 12t^2 - 3

Теперь найдем скорость в момент времени t = 1 с, подставив t=1 в выражение для v(t):

v(1) = 2(1)^3 + 12(1)^2 - 3

v(1) = 2 \cdot 1 + 12 \cdot 1 - 3

v(1) = 2 + 12 - 3

v(1) = 14 - 3

v(1) = 11

Скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 11 м/с