Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = -1/6 * t^3 + 5t - 19 (где x - расстояние от точки отсчета в метрах, t - время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?

Решение:

Скорость материальной точки — это первая производная от ее положения по времени:

x(t) = -\frac{1}{6}t^3 + 5t - 19

Найдем производную функции x(t) по времени t, чтобы получить функцию скорости v(t):

v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt}(-\frac{1}{6}t^3 + 5t - 19)

Применяем правила дифференцирования:

• Производная от \(-\frac{1}{6}t^3\) равна \(-\frac{1}{6} \cdot 3t^{3-1} = -\frac{1}{2}t^2\).
• Производная от \(5t\) равна \(5\).
• Производная от константы \(-19\) равна \(0\).

Итак, функция скорости:

v(t) = -\frac{1}{2}t^2 + 5

Нам нужно найти момент времени t, когда скорость была равна 4 м/с. Приравниваем v(t) к 4:

-\frac{1}{2}t^2 + 5 = 4

Решаем это уравнение относительно t:

-\frac{1}{2}t^2 = 4 - 5

-\frac{1}{2}t^2 = -1

Умножаем обе части на -2:

t^2 = 2

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

t = \pm\sqrt{2}

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень:

t = \sqrt{2}

Время измеряется в секундах.

Ответ: \(\sqrt{2}\) с