Медиана АМ треугольника АВС, делит треугольник на два неравных треугольника. Расстояние от В до медианы равно 34, найдите расстояние от точки С до медианы.

Решение:

Медиана \( AM \) делит сторону \( BC \) на два равных отрезка: \( BM = MC \).

Пусть \( BK \) — перпендикуляр, опущенный из вершины \( B \) на медиану \( AM \) (или её продолжение). Тогда \( BK = 34 \) — это расстояние от \( B \) до медианы.

Пусть \( CL \) — перпендикуляр, опущенный из вершины \( C \) на медиану \( AM \) (или её продолжение). Нам нужно найти \( CL \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle BKM \) и \( \triangle CLM \).

1. \( BM = MC \) ( \( AM \) — медиана).

2. \( \angle BKM = \angle CLM = 90^{\circ} \) ( \( BK \) и \( CL \) — перпендикуляры).

3. \( \angle BМK = \angle CML \) (вертикальные углы).

По признаку равенства прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу \( \triangle BKM = \triangle CLM \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( BK = CL \).

Так как \( BK = 34 \), то \( CL = 34 \).

Ответ: 34.