В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О, углы ABD и ACD прямые, АВ=CD. Найдите OD, если ОА=4.

Решение:

В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Углы ABD и ACD прямые, значит, \( \angle ABD = 90^{\circ} \) и \( \angle ACD = 90^{\circ} \). Также дано, что \( AB = CD \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle ABD \) и \( \triangle DCA \).

1. \( AB = CD \) (по условию).
2. \( \angle ABD = \angle DCA = 90^{\circ} \) (по условию).
3. \( AD \) — общая гипотенуза для обоих треугольников.

По признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету) \( \triangle ABD = \triangle DCA \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов. Следовательно, \( OA = OD \) и \( OB = OC \) (диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам). Углы \( \angle ADB = \angle DAC \) и \( \angle BAC = \angle CDB \).

Так как \( OA = OD \) и \( OA = 4 \), то \( OD = 4 \).

Ответ: 4.