11. Медиана прямоугольного треугольника \( ABC \), проведенная из вершины прямого угла \( C \), равна 6,5. Найдите площадь треугольника \( ABC \), если \( cos \angle B = \frac{5}{13} \).

Пусть \( CM \) - медиана, проведенная к гипотенузе \( AB \). В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Значит, \( AB = 2 \cdot CM = 2 \cdot 6.5 = 13 \). В прямоугольном треугольнике \( ABC \) имеем \( cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13} \). Значит, \( BC = AB \cdot cos B = 13 \cdot \frac{5}{13} = 5 \). Теперь найдем \( AC \) из теоремы Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \). Отсюда \( AC^2 = AB^2 - BC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144 \), значит \( AC = \sqrt{144} = 12 \). Площадь прямоугольного треугольника \( ABC \) равна \( \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30 \). Ответ: 30