11. Медиана прямоугольного треугольника АВС, проведённая из вершины прямого угла С, равна \(\sqrt{10}\). Найдите площадь треугольника АВС, если tg \(\angle B = 2\).

Пусть медиана, проведённая из вершины C, равна \(m = \sqrt{10}\). В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Следовательно, гипотенуза \(AB = 2m = 2\sqrt{10}\). Так как \(tg \angle B = 2\), то \(\frac{AC}{BC} = 2\), откуда \(AC = 2BC\). По теореме Пифагора, \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), следовательно, \((2\sqrt{10})^2 = (2BC)^2 + BC^2\). Тогда \(40 = 4BC^2 + BC^2 = 5BC^2\), откуда \(BC^2 = 8\) и \(BC = 2\sqrt{2}\). Следовательно, \(AC = 2BC = 4\sqrt{2}\). Площадь треугольника АВС равна \(\frac{1}{2}AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{2} \cdot 2\sqrt{2} = 8\). Ответ: 8