Медианы АМ и BD равностороннего треугольника АВС пересекаются в точке О. Найдите углы: а) треугольника АВО; б) треугольника ВОМ.

Ответ: а) ∠ABO = 30°, ∠BAO = 30°, ∠AOB = 120°; б) ∠BOM = 30°, ∠OBM = 30°, ∠BMO = 120°

1. а) Найдем углы треугольника АВО:

2. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°: ∠А = ∠В = ∠С = 60°.

3. Медианы в равностороннем треугольнике являются также биссектрисами, значит ∠АВО = ∠АВС/2 = 60°/2 = 30°, ∠ВАО = ∠ВАС/2 = 60°/2 = 30°.

4. В треугольнике АВО: ∠АВО = 30°, ∠ВАО = 30°, значит ∠AOB = 180° - ∠АВО - ∠ВАО = 180° - 30° - 30° = 120°.

5. б) Найдем углы треугольника ВОМ:

6. В равностороннем треугольнике все углы равны 60°: ∠А = ∠В = ∠С = 60°.

7. Медианы в равностороннем треугольнике являются также биссектрисами, значит ∠АВО = ∠АВС/2 = 60°/2 = 30°.

8. Медиана АМ делит сторону ВС пополам, значит ВМ = МС. Следовательно, ∠ВМО = 180° - ∠ОМС.

9. В треугольнике ВОМ: ∠ВОМ = 180° - ∠АВО - ∠ВМО = 180° - 30° - ∠ВМО.

10. Так как О - точка пересечения медиан, то она делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Значит ВО = 2ОМ. Следовательно, треугольник ВОМ - равнобедренный, и углы при основании ОВ равны: ∠МВО = ∠ОМВ.

11. В треугольнике ВОМ: ∠МВО = ∠ОМВ = 30°, значит ∠BOM = 180° - ∠МВО - ∠ОМВ = 180° - 30° - 30° = 120°.

Ответ: а) ∠ABO = 30°, ∠BAO = 30°, ∠AOB = 120°; б) ∠BOM = 30°, ∠OBM = 30°, ∠BMO = 120°