В треугольнике АВС на стороне АС взяты точки М и N так, что АМ = ВМ, BN = CN (рис. 5). Найдите: а) ∠MBN, если ∠A = 40°, ∠C = 35°; б) угол АВС, если ∠BMN = 20°, ∠BNC = 120°.

Ответ: а) ∠MBN = 105°; б) ∠ABC = 80°

1. а) Найдем ∠MBN:

2. AM = BM, значит треугольник ABM - равнобедренный, и углы при основании AM равны: ∠A = ∠ABM = 40°.

3. BN = CN, значит треугольник BCN - равнобедренный, и углы при основании CN равны: ∠C = ∠CBN = 35°.

4. ∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 40° - 35° = 105°.

5. ∠MBN = ∠ABC - ∠ABM - ∠CBN = 105° - 40° - 35° = 30°.

6. б) Найдем ∠ABC:

7. ∠BNC = 120°, значит ∠BNC + ∠BNA = 180°, следовательно ∠BNA = 180° - ∠BNC = 180° - 120° = 60°.

8. ∠BMN = 20°, значит ∠AMB = 180° - ∠BMN = 180° - 20° = 160°.

9. AM = BM, значит треугольник ABM - равнобедренный, и углы при основании AM равны: ∠A = ∠ABM = (180° - ∠AMB) / 2 = (180° - 160°) / 2 = 10°.

10. BN = CN, значит треугольник BCN - равнобедренный, и углы при основании CN равны: ∠C = ∠CBN = (180° - ∠BNC) / 2 = (180° - 120°) / 2 = 30°.

11. ∠ABC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 10° - 30° = 140°.

Ответ: а) ∠MBN = 30°; б) ∠ABC = 140°