Медианы треугольника имеют длину 5 и 7 и пересекаются под углом 30°. Найдите площадь треугольника.

Точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому отрезки от точки пересечения до двух вершин равны \(\frac{10}{3}\) и \(\frac{14}{3}\).

Площадь треугольника, образованного этими двумя отрезками и стороной между соответствующими вершинами, равна \(\frac12\cdot\frac{10}{3}\cdot\frac{14}{3}\cdot\sin30^\circ=\frac{35}{9}\).

Этот треугольник составляет треть площади исходного: три треугольника, на которые медианы делят исходный треугольник, имеют равные площади. Следовательно, \(S=3\cdot\frac{35}{9}=\frac{35}{3}\).

Ответ: \(S=\frac{35}{3}\).