В трапеции ABCD: основание BC = 7, боковая сторона CD = 8, ∠BAD = 45° и ∠BCD = 105°. Найдите среднюю линию трапеции.

Поскольку основания AD и BC параллельны, высота трапеции равна \(CD\sin105^\circ=8\sin105^\circ\). Горизонтальная проекция стороны CD на направление оснований равна \(8\cos75^\circ\).

Угол ∠BAD равен 45°, поэтому горизонтальное смещение от B до вертикали через A равно высоте: \(8\sin105^\circ\). Тогда

\(AD=BC+8\cos75^\circ-8\sin105^\circ+8\sin105^\circ\) — удобнее заметить, что при выбранном расположении вершин смещение A относительно B равно высоте, а проекция CD добавляется к BC: \(AD=BC+8\cos75^\circ-8\sin75^\circ\).

Так как \(\sin75^\circ-\cos75^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), получаем \(AD=7-4\sqrt2\). Средняя линия:

\(m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{7-4\sqrt2+7}{2}=7-2\sqrt2\).

Ответ: \(7-2\sqrt2\).