Монета брошена 5 раз. Какова вероятность, что орел появится ровно 3 раза.

Решение:

Эта задача решается с помощью формулы Бернулли, так как у нас есть фиксированное число испытаний (бросков монеты), два исхода (орел или решка) и вероятность каждого исхода постоянна.

Формула Бернулли: \( P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \)

• \( n \) — общее число испытаний (бросков монеты) = 5.
• \( k \) — число успешных исходов (появление орла) = 3.
• \( p \) — вероятность успеха (выпадение орла) = 0.5.
• \( q \) — вероятность неудачи (выпадение решки) = 1 - p = 0.5.
• \( C_n^k \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \), рассчитывается как \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).

Сначала найдём число сочетаний:

\[ C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \]

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:

\[ P_5(3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5-3} \]\[ P_5(3) = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 \]\[ P_5(3) = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 \]\[ P_5(3) = 10 \cdot 0.03125 = 0.3125 \]

Ответ: 0.3125