Моторная лодка прошла 28 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Какова скорость моторной лодки в стоячей воде, если известно, что скорость течения реки равна 1 км/ч?

Решение:

Дано:

• Расстояние против течения: \( S_1 = 28 \text{ км} \)
• Расстояние по течению: \( S_2 = 16 \text{ км} \)
• Общее время: \( T = 3 \text{ ч} \)
• Скорость течения: \( v_{теч} = 1 \text{ км/ч} \)

Найти:

• Скорость лодки в стоячей воде: \( v_{л} \)

Решение:

1. Обозначим скорость лодки в стоячей воде как \( v_{л} \).
2. Скорость лодки против течения: \( v_1 = v_{л} - v_{теч} = v_{л} - 1 \) (км/ч).
3. Скорость лодки по течению: \( v_2 = v_{л} + v_{теч} = v_{л} + 1 \) (км/ч).
4. Время движения против течения: \( t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{28}{v_{л} - 1} \) (ч).
5. Время движения по течению: \( t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{16}{v_{л} + 1} \) (ч).
6. Общее время равно сумме времён: \( t_1 + t_2 = T \).
7. Подставим значения: \( \frac{28}{v_{л} - 1} + \frac{16}{v_{л} + 1} = 3 \).
8. Приведём к общему знаменателю \( (v_{л} - 1)(v_{л} + 1) \): \( \frac{28(v_{л} + 1) + 16(v_{л} - 1)}{(v_{л} - 1)(v_{л} + 1)} = 3 \).
9. Раскроем скобки в числителе: \( \frac{28v_{л} + 28 + 16v_{л} - 16}{v_{л}^2 - 1} = 3 \).
10. Упростим числитель: \( \frac{44v_{л} + 12}{v_{л}^2 - 1} = 3 \).
11. Умножим обе части на \( v_{л}^2 - 1 \) (при условии \( v_{л} \neq 1 \) и \( v_{л} \neq -1 \), что выполняется, так как скорость лодки должна быть положительной и больше скорости течения): \( 44v_{л} + 12 = 3(v_{л}^2 - 1) \).
12. Раскроем скобки: \( 44v_{л} + 12 = 3v_{л}^2 - 3 \).
13. Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( 3v_{л}^2 - 44v_{л} - 15 = 0 \).
14. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-44)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 1936 + 180 = 2116 \).
15. Найдём \( \sqrt{D} = \sqrt{2116} = 46 \).
16. Найдём корни \( v_{л} \) по формуле: \( v_{л} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
17. \( v_{л1} = \frac{44 + 46}{2 \cdot 3} = \frac{90}{6} = 15 \).
18. \( v_{л2} = \frac{44 - 46}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \).
19. Так как скорость лодки не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: Скорость моторной лодки в стоячей воде равна 15 км/ч.