Моторная лодка прошла против течения реки 132 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше, чем на путь против течения. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 5 км/ч.

Задача 2: Скорость лодки

Разберем эту задачу по частям.

Дано:

• Расстояние в одну сторону: \( S = 132 \) км.
• Скорость течения реки: \( v_{\text{теч}} = 5 \) км/ч.
• Разница во времени: \( t_{\text{против}} - t_{\text{по}} = 5 \) ч.

Найти:

• Скорость лодки в неподвижной воде: \( v_{\text{лодки}} \).

Решение:

1. Обозначим скорость лодки в неподвижной воде как \( x \) км/ч.
2. Скорость лодки против течения: \( v_{\text{против}} = x - v_{\text{теч}} = x - 5 \) км/ч.
3. Скорость лодки по течению (на обратном пути): \( v_{\text{по}} = x + v_{\text{теч}} = x + 5 \) км/ч.
4. Время, затраченное на путь против течения: \( t_{\text{против}} = \frac{S}{v_{\text{против}}} = \frac{132}{x - 5} \) ч.
5. Время, затраченное на обратный путь (по течению): \( t_{\text{по}} = \frac{S}{v_{\text{по}}} = \frac{132}{x + 5} \) ч.
6. По условию, на обратный путь было затрачено на 5 часов меньше, чем на путь против течения: \( t_{\text{против}} - t_{\text{по}} = 5 \).
7. Подставим выражения для времени: \[ \frac{132}{x - 5} - \frac{132}{x + 5} = 5 \]
8. Приведем дроби к общему знаменателю \( (x - 5)(x + 5) = x^2 - 25 \): \[ \frac{132(x + 5) - 132(x - 5)}{x^2 - 25} = 5 \]
9. Раскроем скобки в числителе: \[ \frac{132x + 660 - 132x + 660}{x^2 - 25} = 5 \]
10. Упростим числитель: \[ \frac{1320}{x^2 - 25} = 5 \]
11. Умножим обе части на \( x^2 - 25 \): \[ 1320 = 5(x^2 - 25) \]
12. Разделим обе части на 5: \[ 264 = x^2 - 25 \]
13. Перенесем 25 в левую часть: \[ x^2 = 264 + 25 \] \[ x^2 = 289 \]
14. Найдем \( x \): \( x = √{289} = 17 \).
15. Скорость лодки в неподвижной воде равна 17 км/ч.

Ответ: Скорость лодки в неподвижной воде равна 17 км/ч.